Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

Exercice de proba

Posté par
toureissa
24-12-20 à 08:05

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice de probabilité.

Trois personnes A, B et C jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée, de la façon suivante :  A et B jouent en premier et le gagnant, par exemple A rencontré C. Si A gagné également cette seconde partie, il est déclaré vainqueur. Sinon C rencontre B, s'il gagne C est déclaré vainqueur, sinon B rencontre à nouveau A,... . C'est-à-dire qu'à chaque fois le gagnant d'une partie rencontre le perdant de la partie précédente, et il faut gagner deux parties consécutives pour être déclaré vainqueur. On cherche la probabilité de gain de chacun des trois joueurs.
V_k(A) désigne l'événement " A sort vainqueur du jeu à la k ieme partie"
V(A) l'événement " A sort vainqueur du jeu."

On définit de même V(B),\; V(C), V(B), V(C).

1)  Calculer P(V_k(A)) en fonction de k.

2) Exprimer V(A) en fonction des V_k(A).

3) Déduire P(V(A)).

4) Calculer P(V(B)).

5)  Calculer P(V(C)) en suivant la même procédure que les questions 1) 2) et 3).

6) Est-ce qu'on peut jouer indéfiniment ?

Voici ce que j'ai fait :

1) Notons P_k=P(V_k(A)), on alors :

P_1=0\; P_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\; P_3=0

J'ai fait une remarque, A ne peut sortir vainqueur qu'aux instants 3k+1 et 3k+2. En effet, puisqu'il ne peut pas être vainqueur à la troisième partie, à la quatrième partie, c'est comme s'il s'est retrouvé dans la même situation de départ, et la nouvelle troisième partie est la sixième partie, donc ne peut pas gagner à la sixième partie et ainsi de suite... .
Ainsi on à :

P_k=(\frac{1}{2})^k si k=3j+1 où k=3j+2 avec j≥1.
P_k=0 si k=3j.

2) V(A)=(\bigcup_{j=1}^{\infty}{V_{3j+1}(A)})\cup(\bigcup_{j=0}^{\infty}{V_{3j+2}})

3) ces événements sont deux a deux disjoints , a donc :

P(V(A))=\sum_{j=1}^{\infty}{(\frac{1}{2})^{3j+1}}+\sum_{j=0}^{\infty}{(\frac{1}{2})^{3j+2}}=\frac{5}{14}

4. A et B ont la même chance de gagner.
P(V(A))=P(V(B)).

5. Ici je n'arrive pas a voir une remarque.

Merci d'avance !

Posté par
ty59847
re : Exercice de proba 24-12-20 à 10:52

De mon côté, j'ai fait un 'état des lieux', sans trop regarder les questions qui sont posées.
Partie n°1 : A contre B
Partie n°2 : AC ou BC  ;  si C perd, le jeu s'arrête
Partie n°3 : BC ou AC : je ne considère que les cas où C a gagné la partie 2, et il joue maintenant contre le perdant de la partie 1.
Si C gagne cette partie n°3, le jeu s'arrête.
Partie n°4 : A contre B

Et ça se répète ...

Le joueur C ne participe jamais aux parties de rang 3k+1. Il ne peut gagner qu'aux parties de rang 3k.

Il y a une question annexe que tu peux ajouter, et qui va t'aider.
Quelle est la probabilité que la partie se termine au tour n°n (peu importe le vainqueur)

Posté par
flight
re : Exercice de proba 24-12-20 à 12:19

salut

deux sequences possibles :
parties    1       2          3        4         5         6         7          8         9       10    .....
                  AB     AC     CB     BA    AC      CB     BA     AC     CB      BA    ..........
ici A pourrait gagner aux parties de la forme  2+3k

   parties    1       2          3        4         5         6         7          8         9       10    .....
                    AB    BC     CA     AB     BC      CA     AB     BC     CA      AB    ..........

ici A pourrait gagner aux parties de la forme  4+3k

Posté par
ty59847
re : Exercice de proba 24-12-20 à 13:39

Effectivement, c'est plus clair comme ça.
Le résultat de la 1ère partie détermine exactement tous les matchs suivants.
La seule question qui reste est : 'jusqu'à quand on joue', et dès qu'on connaît le n° de la dernière partie jouée, et le gagnant de la 1ère partie, on connait le gagnant du jeu.

Dans les exercices de dénombrement ou de probabilités, il faut toujours commencer comme ça. Faire un état des lieux de toutes les informations données, de tout ce qu'on connaît sur la mécanique du jeu.
Et quand on a un état des lieux assez complet, on commence à lire les questions.  Le travail commence bien avant d'avoir lu les questions.

Posté par
GBZM
re : Exercice de proba 24-12-20 à 14:16

Bonjour,

J'écrirais plutôt la première séquence de flight comme ça :

BA AC CB BA ....

ce qui ne change pas grand chose, mais c'est plus joli comme ça.  



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !