Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice de probabilité.
Trois personnes A, B et C jouent à pile ou face avec une pièce équilibrée, de la façon suivante : A et B jouent en premier et le gagnant, par exemple A rencontré C. Si A gagné également cette seconde partie, il est déclaré vainqueur. Sinon C rencontre B, s'il gagne C est déclaré vainqueur, sinon B rencontre à nouveau A,... . C'est-à-dire qu'à chaque fois le gagnant d'une partie rencontre le perdant de la partie précédente, et il faut gagner deux parties consécutives pour être déclaré vainqueur. On cherche la probabilité de gain de chacun des trois joueurs.
désigne l'événement " A sort vainqueur du jeu à la k ieme partie"
V(A) l'événement " A sort vainqueur du jeu."
On définit de même , V(B), V(C).
1) Calculer en fonction de k.
2) Exprimer V(A) en fonction des .
3) Déduire P(V(A)).
4) Calculer P(V(B)).
5) Calculer P(V(C)) en suivant la même procédure que les questions 1) 2) et 3).
6) Est-ce qu'on peut jouer indéfiniment ?
Voici ce que j'ai fait :
1) Notons , on alors :
J'ai fait une remarque, A ne peut sortir vainqueur qu'aux instants 3k+1 et 3k+2. En effet, puisqu'il ne peut pas être vainqueur à la troisième partie, à la quatrième partie, c'est comme s'il s'est retrouvé dans la même situation de départ, et la nouvelle troisième partie est la sixième partie, donc ne peut pas gagner à la sixième partie et ainsi de suite... .
Ainsi on à :
si k=3j+1 où k=3j+2 avec j≥1.
si k=3j.
2)
3) ces événements sont deux a deux disjoints , a donc :
4. A et B ont la même chance de gagner.
.
5. Ici je n'arrive pas a voir une remarque.
Merci d'avance !