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Niveau Maths sup
Exercice de probabilité
Posté par Ben2005 (invité)
Bonjour, j'ai un petit problême en probabilité que je voudrais vous soumettre afin d'obtenir une explication assez clair (j'ai beaucoup de mal de comprendre tout ce qui a attrait à la probabilité, donc SVP soyez simple, merci)
Voici l'énoncé:
A et B jouent à un jeu où la probabilité pour A de gagner une partie vaut p. Le vainqueur est le premier des deux qui gagne deux partie consécutives. Sahcant que lorsque A perd la première partie, les chances de A et B d'être vainqueur deviennent égales. On demande de déterminer p.
Voici la résolution:
Si A perd la première partie, A ne peut être vainqueur qu'au bout d'un nombre impair de parties. Soit 2n+1, ce nombre. Sahcnat que A perd la première partie, la probabilité que A soit vainqueur au temps 2n+1 vaut p²(pq)n-1. Sahcnat que A perd la première partie, la probabilité que A soit vainqueur vaut donc:
(désolé de l'écrire comme ça mais je sais pas comment fiare autrement) La somme pour n = 1 jusqu'à l'infini de p²(pq)n-1= p²/1-pq
Or d'après l'énoncé, on sait que cette probabilité vaut 1/2, donc après calcul on a que p=0.61804
Voici mes problêmes, y'en a deux:
Il dit la probabilité que A soit vainqueur au temps 2n+1 vaut p²(pq)n-1, comment fait il ceci?
Ensuite il sort de son grand chapeau une somme pour n=1 jusqu'à l'infini, ca vient d'où?
Pouvez vous m'expliquer ces deux questions avec éventuellement les points théoriques (formule, définition,...) que vous utilisez?
Merci d'avance à tous!
Ben2005
Posté par bret (invité)re : Exercice de probabilité
salut ben,
montrons que la proba de gagner au temps 2n+1 est p²(pq)^(n-1) :
commence par regarder des exemples : si n=1, la seule possibilité pour A de gagner au temps 3 est que les gagnants des parties soient B A A
si n=2, c'est B A B A A
si n=3, B A B A B A A
en effet, si il y a deux B d'affilée B gagne, donc jusqu'à 2n, les gagnants des parties s'alternent, et en plus on sait qu'au temps 2n, A gagne,
je te laisse montrer la formule rigoureusement à partir de ces constatations.
Pour la somme infinie, cela vient du fait général suivant :
Si An est une suite d'évènements disjoints deux à deux on a
Or ici si on appelle E l'évenement A gagne, et E(2n+1) l'évènement A gagne au temps 2n+1, on a
Je te conclure à partir de la formule précédente,
sauf erreurs,
bret 
Posté par bret (invité)re : Exercice de probabilité
pardon E est l'évènement : "A gagne sachant qu'il a perdu la premiere partie" (sinon, on est pas sur qu'il faille un temps impair pour gagner )
Bonjour Ben2005.
Je ne suis pas très sûr de ce que j'avance dans la mesure où l'on parle de : "sachant que A perd la première partie". Faut-il employer les probas conditionnelles ?
Voila ce que je propose.
Les cas qui nous intéressent sont du type : BAA, B(AB)AA, B(AB)(AB)AA, .... Ils sont tous formés du même type d'événements : B, puis un certain nombre n de (AB) et enfin AA.
Chacun a la probabilité : q(pq)np2 = qp²(pq)n, où n > 0 et où q = 1 - p.
La probabilité P de "A gagne sachant qu'il a perdu la première partie" serait alors la somme de toutes ces probabilités :
. On reconnaît sous le sigma la somme des termes d'une suite géométrique. Donc :
.
En exprimant que P = 1/2, je tombe sur une équation du troisième degré :
.
Comme je ne trouve pas le même résultat que ton corrigé, j'ai quelques doûtes sur ma méthode. Cependant, elle peut te fournir déjà quelques idées.
Cordialement RR.
Attention raymond tu n'as pas écrit les probas conditionnelles à "A perd la 1ère" : avec celles ci les probas de l'événement "A gagne à la (2n+1)-ième partie" est 0 si n=0 et sinon (pq)n-1p2 et non pas q(pq)n-1p2.
Bonjour stokastik.
Merci de ta précision, c'est bien ce que je pensais lorsque j'ai émis des doûtes dans mon message antérieur à propos des probas conditionnnelles : le terme "q" disparaît de ma réponse. Dans ce cas :
.
La condition P = 1/2 devient alors : p² + p - 1 = 0 : nettement plus abordable.
Cordialement RR.