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exercice de raisonnement

Posté par
ysf 28-08-17 à 02:09

bonjour
merci à l'avance
s.v.p aidez moi pour cette Q:

x et y deux réels positifs tels que x+y=1
n un entier naturel
montrer que: (1+ 1/x^n )(1+ 1/y^n ) >= ( 1+2^n)²

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 02:28

As tu essayé la récurrence?

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 02:35

Merci bien.
Pas encore. Je v essayer.
La question indique d'utiliser des implications.
🙂Razes👍

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 03:23

Tu peux aussi te debarasser des denominateurs et utiliser les identites remarquables.
Je ferais demain les calculs pour voir.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 08:40

Bonjour,
Une autre idée :
Exprimer le premier membre avec une seule variable.
L'inégalité devient égalité pour x = y =1/2 .
On peut supposer x < y ; on a alors x = 1/2 - h et y = 1/2 + h avec h > 0 .
f(h) = (1 + (1/2 - h)-n)( 1 + (1/2 + h)-n
Le sens de variation sur [0;1/2] peut s'obtenir en dérivant.

Posté par
malou Webmasterre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 09:15

ysf, pas de langage sms sur le site s'il te plaît, merci

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q26 - Pourquoi dois-je écrire mon message dans un français correct ? Pourquoi le langage SMS est-il interdit sur l'Île ?



(modérateur)

Posté par
co11re : exercice de raisonnement 28-08-17 à 10:19

Bonjour,
si on suppose par exemple que xy, on peut prouver que
0x1/2y1
puis:
xy1/x1/y ....... (1+1/x^n)(1+1/y^n) (1+1/x^n)²
puis x1/21/x2 .......

Je crois bien que ça marche
Je te laisse finir?

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 10:54

D'accord😊Malou
Merci infiniment à tous 🌹🌹🌹Razes.sylvieg.co11

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 11:10

Petit souci co11 :
xy1/x1/y ....... (1+1/xn)(1+1/yn) (1+1/yn)²

Posté par
co11re : exercice de raisonnement 28-08-17 à 11:15

ah trop bête, il va falloir recommencer alors
merci sylvieg

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 28-08-17 à 19:07

Sylvieg :  la fct f(h)  =  (1 + (1/2 - h)-n)( 1 + (1/2 + h)-n  prend sa valeur minimale en zéro et égale à (1+2^n)²
!!
existe-t-il un autre chemin pour raisonner!?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 30-08-17 à 19:20

Bonsoir,
Il existe sans doute un chemin plus "astucieux" ; mais je ne l'ai pas trouvé

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 30-08-17 à 19:29

De même☹☹ je vais chercher encore

J'espère trouver  un autre chemin

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 30-08-17 à 20:34

Bonjour,

Nous avons: \left (1+ \frac{1}{x^n}\right )\left (1+ \frac{1}{y^n}\right )\geqslant  \left (1+2^n\right )^{2}; Avec: x+y=1

Posons: f(x)=\left (1+ \frac{1}{x^n}\right )\left (1+ \frac{1}{\left ( 1-x\right )^n}\right ); ce qui correspond au membre de gauche. Cherchons le minimum de f.

f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}\left (1+ \frac{1}{\left ( 1-x \right )^n} \right )+\frac{n}{(1-x)^{n}}\left (1+ \frac{1}{x^n} \right )


f'(x)=0\Leftrightarrow x^{n+1}\left (1+ \frac{1}{x^n} \right )=(1-x)^{n+1}\left (1+ \frac{1}{(1-x)^n} \right )\Leftrightarrow g(x)=g(1-x);

Avec: g(x)=x^{n+1}\left (1+ \frac{1}{x^n} \right )=x^{n+1}+x; g'(x)=(n+1)x^n+1; la fonction g est strictement croissante.

Donc: g(x)=g(1-x)\Leftrightarrow x=1-x\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}

D'où f est minimale en x=\dfrac{1}{2}; donc y=\dfrac{1}{2}

f\left (\frac{1}{2} \right )=\left ( 1+\frac{1}{\left (\frac{1}{2} \right )^{n}} \right )\left ( 1+\frac{1}{\left (\frac{1}{2} \right )^{n}} \right )=\left (1+2^{n} \right )^{2} CQFD

On peut calculer er vérifier que f''(x)> 0

Posté par
co11re : exercice de raisonnement 31-08-17 à 17:35

Il ne manque pas l'étude du signe de f'(x) ?

à part ça j'ai fait à peu près comme toi Razes, mais comme je me plantais justement dans l'étude de ce signe sans réussir à trouver mon erreur, je n'ai pas fait part de mes oeuvres.

Au final c'est une étude de variations de fonction du genre de ce que proposait Sylvieg. J'aurais bien aimé aussi trouver un autre chemin. C'est vrai l'indication "utiliser des implications" pousse à chercher dans cette direction. Mais je n'ai rien trouvé moi non plus

Posté par
coa347re : exercice de raisonnement 31-08-17 à 22:33

Bonsoir,

Autre solution : on y arrive aussi en utilisant la concavité de la fonction ln et l'inégalité vérifiée pour tout x compris entre 0 et 1 : x(1-x)<=1/4.

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 01-09-17 à 01:51

Bonsoir,

J'ai rajouté les infos concernant la dérivé, et complété autant que possible la solution.

Nous avons: \left (1+ \frac{1}{x^n}\right )\left (1+ \frac{1}{y^n}\right )\geqslant  \left (1+2^n\right )^{2}; Avec: x+y=1

Posons: f(x)=\left (1+ \frac{1}{x^n}\right )\left (1+ \frac{1}{\left ( 1-x\right )^n}\right ); ce qui correspond au membre de gauche. Cherchons le minimum de f.


f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}}\left (1+ \frac{1}{\left ( 1-x \right )^n} \right )+\frac{n}{(1-x)^{n+1}}\left (1+ \frac{1}{x^n} \right )= \frac{n}{\left (x(1-x)  \right )^{n+1}}\left (x^{n+1}+x-(1-x)^{n+1}-(1-x) \right )=\\ \\ \dfrac{n}{\left (x(1-x) \right )^{n+1}}\left ( h(x)-h(1-x) \right )


Avec : h(x)=x^{n+1}+x; h'(x)=(n+1)x^{n}+1; \forall x\in [0,1] h(x)\geqslant 0 donc h est croissante et sur ]0,1[ h est strictement croissante. Donc h:[0,1]\to [0,2] est bijective.

f'(x)=0\Leftrightarrow h(x)-h(1-x)=0\Leftrightarrow h(x)=h(1-x)
Comme h est bijective, donc h(x)=h(1-x)\Rightarrow  x=1-x\Rightarrow x=\frac{1}{2} Et c'est la seule valeur qui annule f'.

f\left (\frac{1}{2}\right )= \left ( 1+2^{n} \right )^{2}

\begin{array}{|c||ccccc||}\hline\hline x&0&&\frac{1}{2}&&1\\\hline f'(x)=\frac{n}{\left (x(1-x)  \right )^{n+1}}\left ( h(x)-h(1-x) \right )& &-&0&+&\\\hline\hline f(x)=\left (1+ \frac{1}{x^n}\right )\left (1+ \frac{1}{\left ( 1-x\right )^n}\right )&+\infty &\searrow&\left (1+2^{n} \right )^{2} &\nearrow&+\infty\\\hline\end{array}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 01-09-17 à 08:32

Bonjour Razes,
Il est plus facile d'étudier les variations sur [0;1/2[ de f définie par f(h) = (1 + (1/2 - h)-n)( 1 + (1/2 + h)-n)

Pas besoin de bijectivité ou autre. La fonction f est strictement croissante sur [0;1/2[.

f'(h) = n [ (1/2 - h)-n-1 - (1/2 + h)-n-1 + 2h (1/4 -h2)-n-1 ]

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 01-09-17 à 08:48

En fait, le signe de ta dérivée est aussi simple qu'avec la mienne :

f'(x)= \frac{n}{\left (x(1-x) \right )^{n+1}}\left (x^{n+1}+x-(1-x)^{n+1}-(1-x) \right )

xn+1 - (1-x)n+1 a le même signe que x - (1-x) :
Factoriser xn+1 - (1-x)n+1 ou utiliser xxn+1 croissante stricte sur + .

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 01-09-17 à 10:22

Bonjour,

Sylvieg @ 01-09-2017 à 08:32

Pas besoin de bijectivité ou autre. La fonction  f  est strictement croissante sur [0;1/2[.

f'(h)  =  n [ (1/2 - h)-n-1 - (1/2 + h)-n-1 + 2h (1/4 -h2)-n-1 ]  

Comme je l'ai note la bijectivite découle directement de la croissance. Afin de justifier que f' a une seule racine.

Tu dois aussi justifier la même chose car l'expression que tu as obtenu n'est pas standard. Tu dois justifier que les deux expressions ont le même signe.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 01-09-17 à 10:26

Quelles deux expressions ?

Posté par
coa347re : exercice de raisonnement 01-09-17 à 10:27

Bonjour,

J'explicite.

\forall x \in [0,1], x(1-x)\leq \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{x^n(1-x)^n} \geq 4^n=2^{2n}}

\ln est concave \Rightarrow \ln[\dfrac{1}{2} (\dfrac{1}{x^n}+\dfrac{1}{(1-x)^n})] \geq \dfrac{1}{2} (\ln \dfrac{1}{x^n}+\ln\dfrac{1}{(1-x)^n}) \geq \ln (2^n).  

Donc \dfrac{1}{x^n} +\dfrac{1}{(1-x)^n}\geq 2^{n+1}}.

Au final, en additionnant le tout,

(1+\dfrac{1}{x^n})(1+\dfrac{1}{(1-x)^n})=1+\dfrac{1}{x^n}+\dfrac{1}{(1-x)^n}+\dfrac{1}{x^n}\dfrac{1}{(1-x)^n} \geq 1+2^{n+1}+2^{2n}=(1+2^n)^2

Posté par
coa347re : exercice de raisonnement 01-09-17 à 10:29

Mais je ne vois pas une méthode par implications niveau 1ère ?

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 02-09-17 à 22:30

Bonsoir,

Étant que la solution avec étude de fonction ne te conviens, voici une autre méthode que je pense est à ta portée. Tu me diras ce que tu en pense.

Nous avons: x+y=1; Alors: \left ( \sqrt{x} -\sqrt{y}\right )^2=x+y-2\sqrt{xy}=1-2\sqrt{xy}\geqslant 0\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{xy}}\geqslant 2

Soient les vecteurs: \overrightarrow{X} \left (1,\dfrac{1}{\sqrt{x^n}} \right ) et  \overrightarrow{Y}\left (1,\dfrac{1}{\sqrt{y^n}} \right ); utilisons l'inégalité Cauchy Schwarz:

\left \| \overrightarrow{X} \right \|\left \| \overrightarrow{Y} \right \|\geqslant \left | \overrightarrow{X}.\overrightarrow{Y} \right | \Leftrightarrow \left (1+\dfrac{1}{x^n}\right )\left (1+\dfrac{1}{y^n}\right )\geqslant \left (1+ \dfrac{1}{\sqrt{x^ny^n}}\right )^2=\left (1+ \dfrac{1}{\left (\sqrt{xy}\right )^n}\right )^2

Donc:\left (1+\dfrac{1}{x^n}\right )\left (1+\dfrac{1}{y^n}\right )\geqslant \left ( 1+2^n \right )^2

CQFD

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 03-09-17 à 07:47

Bonjour,
Bravo !
Une petite amélioration pour se passer de Cauchy Schwarz :

Utiliser (1+a²)(1+b²) (1+ab)2 avec a = 1/(x)n et b = 1/(y)n

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 03-09-17 à 10:56

Bonjour,

@Sylvieg,
Oui, merci. Je l'avais vu une fois que j'avais envoyé ma réponse que je pouvais exploiter la même identité en 4ème ligne:  \left (\dfrac{1}{\sqrt{x^n}}-\dfrac{1}{\sqrt{y^n}}\right )^2\geqslant 0; car le terme (1+ab)^2 n'était pas visible au départ.

Bon, l'inégalité Cauchy Schwarz est au programme du Lycée (classe 1ère) et ne nécessite pas de calculs.
\overrightarrow{X}.\overrightarrow{Y}=\left \| \overrightarrow{X} \right \|\times \left \| \overrightarrow{Y} \right \|\times \cos( \overrightarrow{X},\overrightarrow{Y}); Avec :  \left |\cos( \overrightarrow{X},\overrightarrow{Y})\right |\leqslant 1

Tant mieux qu'il y est tant de solutions, ysf   aura le choix de la méthode.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 03-09-17 à 19:07

Tant mieux surtout pour ysf de lui avoir trouvé un joli chemin sans dérivée

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 03-09-17 à 19:23

salut,
@coa347
meme redaction que toi mais en utilisant l'inegalite AG au lieu du ln

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 03-09-17 à 20:00

alb12 @ 03-09-2017 à 19:23

salut,
@coa347
meme redaction que toi mais en utilisant l'inegalite AG au lieu du ln
Mais non, regarde bien, c'est la même chose.

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 03-09-17 à 20:32

on parle de niveau premiere ici

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 03-09-17 à 20:48

alb12 @ 03-09-2017 à 20:32

on parle de niveau premiere ici
Là, oui. Mais je ne sais pas si inégalité AG est au programme de  premièère? (Ysf est en terminale Bac S)

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 03-09-17 à 22:13

pour cet exercice 2 resultats suffisent, je passe sur les hypotheses
1/ sqrt(a*b)<=(a+b)/2 demontrable en seconde
2/ x(1-x)<=1/4 demontrable en premiere voire meme en seconde
coa347 a tout redige il suffit de ne pas parler de ln

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 00:04

alb12 @ 03-09-2017 à 22:13

pour cet exercice 2 resultats suffisent, je passe sur les hypotheses
1/ sqrt(a*b)<=(a+b)/2 demontrable en seconde
2/ x(1-x)<=1/4 demontrable en premiere voire meme en seconde
coa347 a tout redige il suffit de ne pas parler de ln
Tu es un génie. T'es fort en commentaire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 08:51

Bonjour,
Tout d'abord, je ne sais pas si "inégalité AG" est au programme de première ; mais une chose est certaine ; un élève de première peut ne pas comprendre ce que signifie cette abréviation.
Inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique :
Avec a et b positifs ou nuls (a+b)/2 (ab) .
Peut se démontrer en exercice ( en comparant les carrés ou en développant (a - b )2 ).

Ensuite, plutôt que des échanges aigres-doux, on peut utiliser les différentes contributions pour donner une réponse la plus claire possible.
Je vais essayer dans le message suivant.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 08:55

En utilisant deux fois l'inégalité suivante : Si a et b sont positifs ou nuls alors \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} .

(1+ \frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}}) = 1 + \frac{1}{x^{n}} + \frac{1}{y^{n}} + \frac{1}{x^{n}y^{n}} et \frac{1}{x^{n}} + \frac{1}{y^{n}} \geq 2\sqrt{\frac{1}{x^{n}}\times \frac{1}{y^{n}}}

D'où (1+ \frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}}) \geq 1 + 2\sqrt{\frac{1}{x^{n}} \frac{1}{y^{n}}} + \frac{1}{x^{n}y^{n}} = (1 + \frac{1}{\sqrt{x^{n}y^{n}}})^{2}

De plus \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} alors que x+y = 1 ; donc \sqrt{xy} \leq 1/2 qui donne \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq 2 puis \frac{1}{\sqrt{x^{n}y^{n}}} \geq 2^{n}

Enfin : (1+ \frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}}) \geq (1 + 2^{n})^{2}

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 04-09-17 à 09:20

c'est ce qui me paraît le plus elementaire pour un exercice d'olympiades

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 16:29

oui le chemin est joli , Sylvieg
merci bien
justement, alb12 ,  c'est un exercice d'olympiades
merci à tous

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 04-09-17 à 16:48

et assez ancien il me semble. As-tu la date de ces olympiades ?

Posté par
ysfre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 16:55

alb12
non
je l'ai trouvé dans une page d'origine arabe  comme exercice de recherche

Posté par
larrechre : exercice de raisonnement 04-09-17 à 18:31

Sylvieg

Biblique...

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 11:57

@Sylvieg

Posté par
coa347re : exercice de raisonnement 05-09-17 à 12:25

alb12 @ 03-09-2017 à 22:13

pour cet exercice 2 resultats suffisent, je passe sur les hypotheses
1/ sqrt(a*b)<=(a+b)/2 demontrable en seconde
2/ x(1-x)<=1/4 demontrable en premiere voire meme en seconde
coa347 a tout redige il suffit de ne pas parler de ln

Bonjour,

Merci. En effet, l'inégalité arithmético-géométrique remplace avantageusement la concavité de la fonction ln au niveau 1ère !

Pour confirmer, l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est effectivement pas au programme de 1ère. Ils connaissent le produit scalaire et la formule avec le cosinus, mais de là, il faut penser à cette inégalité, ce n'est pas évident.

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 13:06

coa347 @ 05-09-2017 à 12:25

Pour confirmer, l'inégalité de Cauchy-Schwarz n'est effectivement pas au programme de 1ère. Ils connaissent le produit scalaire et la formule avec le cosinus, mais de là, il faut penser à cette inégalité, ce n'est pas évident.


Effectivement  le produit scalaire et la formule avec le cosinus sont  au programme (voir lien ilemaths Produit scalaire : Rappels, Applications et compléments, pour contourne Cauchy-Schwarz il suffit de ne pas en parler et utiliser \cos x<1. Pourtant Cauchy-Schwarz     figurait au programme de seconde. (Dans mon Bordas "Mathematiques - Seconde A - C - T") malheureusement ce n'est plus le cas.

Pour ce qui est de la concavité de la fonction \ln, est tu sur qu'ils sont au programme de 1ére?

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 13:11

D'après le bulletin officiel, ils y sont.

Posté par
malou Webmasterre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 13:20

les fcts log ne sont pas au programme de 1re S....
edit > ne pas se fier à une fiche sur le site pour dire que telle ou telle chose est ou pas au programme....la seule référence est le programme officiel

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 13:26

J'ai seulement posé la question.

Posté par
alb12re : exercice de raisonnement 05-09-17 à 14:21

"Dans mon Bordas "Mathematiques - Seconde A - C - T")"
effectivement il y a eu quelques changements depuis

Posté par
Razesre : exercice de raisonnement 05-09-17 à 15:15

Oui. Du coup Cauchy-Schwarz a déménagé de la classe de seconde à l'après bac, ça fait loin!


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