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exercice de recouvrement

Posté par
tringlarido 26-10-08 à 17:12

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur un corps $k$ et $H_1, \ldots, H_m$ des hyperplans. La réunion :
$\\ \bigcup_{i = 1}^n H_i \\$
n'est jamais un sous-espace vectoriel si k est infini. Par contre dans le cas d'un corps fini, on a d'amusants phénomènes de recouvrements. (si vous trouvez des résultats intéressants dans cette direction, ils m'intéressent)

1) Montrer que si $m = p^r+1$ alors les hyperplans $H_i$ recouvrent $E$ si et seulement si $\cap H_i$ est de dimension n-2.

2) Montrer que $p^r+1$ est la meilleure borne possible pour un recouvrement.

(moral : plus l'intersection est grande, plus le recouvrement est important !)

3) Trouver les bornes (inférieure et supérieure) pour le nombre d'hyperplans en fonction de la taille de l'intersection. (celle là, je ne sais pas y répondre)

4) Faire la même chose avec des sous-espaces de dimension $k$ (et celle-là encore moins).

Posté par re : exercice de recouvrement 27-10-08 à 14:16

Bonjour

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Posté par re : exercice de recouvrement 27-10-08 à 20:37

Il y a quelque chose qui m'échappe dans ta réponse... je vais tenter de reformuler l'énoncé.

Nous nous donnons une famille $H_i$ d'hyperplans vectoriels d'un espace vectoriel $E$ . On cherche à savoir si la réunion des $H_i$ est égale à $E$ tout entier (en général, cette réunion n'est même pas un sous-espace vectoriel).

L'exercice présente une condition nécessaire et suffisante dans le cas où l'intersection des $H_i$ est de dimension $n-2$ .