g besion d'aide pour le 2b) et le 3b) et non le 3a)

1 a)l'equation (E):  8x+5y=1

s'appelle l'identité de besoult: si u et v sont deux enriers relatifs
premier entre eux alors il existe deux entiers relatifs x et y tels
que
ux+vy=1.

8 et 5 sont premier entre eux donx on sait qu'il existe deux entiers
relatifs x et v tels que 8x+5y=1.

une solution particulière est : 8*2+5*(-3)=16-15=1
xo=2 et yo=-3 sont les solutions particulières.

1 b)  8x+5y=1. et 8*2+5*(-3)=1

en retranchant membre à membre vous obtenez:

8*(x-2)=5*(-3-y)

donc 8 divise 5(-3-y) comme 8^5=1 donc 8 divise -3-y

8^5=1 signifie que le PGCD de 8 et 5 est 1 car ils sont premiers entre
eux.

8 divisie -3-y donc il existe kEZ tel que -3-y=8k
il existe kEZ tel que y=-3-8k.

comme 8*(x-2)=5*(-3-y)
en remplaçant -3-y par 8k car -3-y=8k on obtient:
8*(x-2)=5*(8k)=40k donc x-2=5k donc x=5k+2

donc les solutions de (E) sont:
x=5k+2 et y=-3-8k avec kEZ.

vérification:
8(5k+2)+5(-3-8k)=40k+16-15-40k=1

2 a)

Soit N un nombre naturel tel qu'il existe un couple (a;b) de
nombres entiers vérifiant:
N=8a+1
N=5b+2
cela veut dire que le reste de la division euclidienne de N par 8
est 1 et le reste sa division euclidienne par 5 est 2.
Relarquez aussi qu'il s'agit des nombre 8 et 5 de l'exercice
1 qui sont premiers entre eux pour lesquels nous avons trouvé des
solution génériques.

en écrivant: N=8a+1 =5b+2 on endéduit que:

8a-5b=2-1 ce qui équivalent à : 8a+5(-b)=1 donc (a,-b) sont solution de (E).

2b)
comme N=8a+1 en effectuant la division euclidienne de a par 5 on obtient:
a=5q+r avec 0<=r<5

donc N=8(5q+r)+1 = 40q+8r-1 avec 0<=r<5

8r-1 est le reste de la division de N par 40 ssi 0<=(8r-1)<40

or comme 0<=r<5 en multipliant les 3 membres par 8 on obtient:

0<=8r<5*8  donc 0<=8r<40 puis en retranchant -1 on obtient:

  -1<=(8r-1)<39  

le cas 8r-1=-1 donnerait r=0 c-à-d le cas évident où 5 divise a.
dans ce cas N=8*a+1=8(5q)+1=40q+1 donc le reste de la division de
N par 40 est 1 dans le cas où r=0.

si 5 ne divise pas a alors 0<=(8r-1)<39  

donc le reste de la division de N par 40 est 8r-1 avec 0<r<5
le cas r=0 donne a=5q et donc N=40q+1 .

3 a)8x+5y=100 où (x;y) est un couple de nombres entiers relatifs.

en écrivant 100=2*40+20
                          = 2*40 +2*8 +5 -1
                          = 8*5 +5*8+2*8+5-1
                          = 8*7+5*9-1
donc 8x+5y=100 =8*7+5*9-1
donc 8(x-7)+5(y-9)=-1

donc 8(7-x)+5(9-y)=1

donc 7-x et 9-y sont solution de l'équation (E) de l'exercice
1.

donc il exite kEZ tel que:
7-x=5k+2  et 9-y=-3-8k

x=-5k+5 et y= 8k+12 avec kEZ.

vérification :

8(-5k+5 )+5(8k+12)=-40k+40+40k+60=100

3b) soit H le nombre des hommes du groupe et F le nombre des femmes du
groupe.

la dépense des hommes est donc 8*H et la dépense des femmes est 5*F
donc la dépense du groupe est 8H+5F qui doit être égale à 100.

8H+5F =100.

nous sommes amenés à une équation de la question 3 a)
des solutions particulières sont obtrenues en écrivant:

100=40+60=8*5+5*12  5 hommes est 12 femmes

ou bien :
100=80+20=8*10+5*4  10 hommes est 4 femmes

il y une infinité de solutions:

toutes les solutions sont de la forme:

H=-5k+5 et F= 8k+12 avec kEZ. et H>=0 et F>=0

car ici H et F sont des nombres donc:

-5k+5>=0 donc k<=1
8k+12 >= 0 donc k>=E(-12/8)+1=- 1 ; ici E() = partie entière.

donc -1<=k<=1 don k E {-1,0,1}.
pour k=-1  alors H= 10 et F=4 déjà obtenu;
pour k=0  alors H= 5 et F= 12 déjà obtenu;
pour k=1  alors H= 0 et F=20 il n'ya que des femmes;

voila:

je vous prie d'accépter mes remercements.

merci beaucoup