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Niveau terminale
Exercice de Spé maths sur le PGCD
Posté par Drak_storm
Bonjour,
J'aurai besoin de votre science:
On avait à faire un exercice de spécialité maths à la maison.
Je suis complètement perdu, pouvez-vous m'aider??
Merci beaucoup!
Voilà le sujet en question:
-----------
Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant: "Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD (a;b)=1 alors PGCD (a²;b²)=1 "
une suite est définie pour n>0 par Sn=
On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le PGCD de S et S
1) Démontrer que, pour tout n>0, on a : S=(
)²
2) Étude du cas où n est pair
Soit K l'entier naturel non nul tel que n=2k
a- Démontrer que PGCD(S; S
)= (2k+1)²PGCD (k²; (k+1)²)
b- Calculer PGCD (k, k+1).
c- Calculer PGCD (S, S
).
3) Étude du cas où n est impair.
Soit k l'entier naturel non nul tel que n = 2k+1
a- Démontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entre eux.
b- Calculer PGCD (S, S
).
4) Déduire des questions précédentes qu'il existe une unique valeur de n, que l'on déterminera, pour laquelle S et S
sont premiers entre eux.
bonjour
1) par récurrence
S1=1^3=1 et (1*(1+2))/2=2/2=1 donc S1=(1*(1+1)/2)²
supposons que Sn=(n(n+1)/2)²
alors
S(n+1)=Sn+(n+1)^3
=(n(n+1)/2)²+(n+1)^3
=(n+1)²[(n/2)²+(n+1)]
=(n+1)²(n²+4(n+1))/4
=(n+1)²(n+4n+4)/4
=(n+1)(n+2)²/4
=[(n+1)((n+1)+1)/2]²
donc la proposition est vrai pour n+1
2)n pair n=2k
a)
S2k=1+2^3+...+(2k)^3=[(2k)(2k+1)/2]²
=k²(2k+1)²
S(2k+1)=[(2k+1)(2k+2)/2]²
=(2k+1)²(k+1)²
donc
PGCD(S2k,S(2k+1))=PGCD(k²(2k+1)²,(2k+1)²(k+1)²)
=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)
b)(k+1)-k=1 donc k et k+1 sont premiers entre eux donc PGCD(k,k+1)=1
c)
d'après la proprité rappellée à l'introduction PGCD(k²,(k+1)²)=1 car PGCD(k,k+1)=1
comme PGCD(S2k,S(2k+1))=PGCD(k²(2k+1)²,(2k+1)²(k+1)²)
=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)
comme
PGCD(S2k,S(2k+1))=(2k+1)²PGCD(k²,(k+1)²)
donc
PGCD(S2k,S(2k+1))=(2k+1)²=(n+1)²
3) n impair n=2k+1
a) (2k+3)-(2k+1)=2
soit d un diviseur commun à 2k+3 et 2k+1 alors d divise 2 donc d=1 ou d=2
si d=2 alors 2k+1 serait pair ce qui n'est pas possible
donc d=1
donc 2k+3 et 2k+1 sont premiers entre eux
b)on a déjà calculé S(2k+1)=(2k+1)²(k+1)²
S(2k+2)=S(2(k+1))
=(k+1)²(2(k+1)+1)²
=(k+1)²(2k+3)²
donc
PGCD(S(2k+1),S(2k+3))=PGCD((k+1)²(2k+1)²,(k+1)²(2k+3)²)
=(k+1)²PGCD((2k+1)²,(2k+3)²)
comme PGCD(2k+1,2k+3)=1 donc PGCD((2k+1)²,(2k+3)²)=1
donc
PGCD(S(2k+1),S(2k+3))=(k+1)²
4) si n=2k
PGCD(S2k,S(2k+1))=(n+1)² donc PGCD(Sn,S(n+1))=(n+1)²
Sn et S(n+1) sont premiers entre eux ssi PGCD(Sn,S(n+1))=1
ssi (n+1)²=1
ssi n=0
si n=2k+1
alors PGCD(S(2k+1),S(2k+3))=(k+1)² donc PGCD(Sn,S(n+1))=(k+1)²
Sn et S(n+1) premiers entre eux ssi PGCD(Sn,S(n+1))=1
ssi (k+1)²=1
ssi k=0
donc n=1