Bonjour, il te suffit de regarder le dessin (chaque verticale verte est une valeur d'un terme de la suite), tu vois tout de suite que tous les termes resteront compris entre 0 et 2.

C'était simple, je pensais que c'était plus compliqué.
Pour la 2) on à alors :
Soit Pn la proposition ''''
Initialisation :  , donc . Donc est vraie.
Hérédité : Soit k un entier naturel tel que . Supposons que k est vrai (c'est-à-dire que '''' ).
Démontrons le au rang k+1.
''''

De '''' on en déduit que ''''
par décroissance sur ]-∞;∞[.

A partir de là je bloque.
J'ai bien envie d'utiliser cette deuxième méthode de récurrence, mais l'intervalle que j'ai énoncé me semble erroné pour continuer mon raisonnement  

si f est décroissante, tes images sont rangées en sens contraire

calcule f(0) et f(2) et remplace
.....

Je ne suis pas sur de mes images
Voici ce que j'obtiens :

S'il vous plaît
Pourriez-vous me corriger ?

Pourquoi n'es-tu pas sûr de tes images ? ce sont des calculs très simples, il faut que tu sois plus sûr de toi que ça ! En plus tu peux aussi regarder le graphique et constater que ces valeurs sont cohérentes avec le dessin.
oui elles sont bonnes.

Vous avez raison, je dois être plus sûr de moi.
Donc,
De ''.'' on en déduit que ''.''
par décroissance sur ]-∞;∞[, soit
Donc est vraie.

Conclusion : P0 est vrai, Pk est vrai --> Pk+1 est vrai. Donc Pn est  vrai pour tout entier naturel n appartenant à N. C'est à dire que   est vrai pour tout n appartenant à N). La suite est donc bornée par 2 et .

évite d'écrire que 1 2/3, ça fait désordre.

et puis U₀ = 0 donc ton minorant c'est plutôt 0

Donc j'enlève 2 de la conclusion.
Pour le U0 = 0, je suis d'accord, mais l'image de 0 c'est 2 et l'image de 2 c'est 2/3, je ne comprend pas, sont utilité pour bornée la suite.

ça t'aide pour l'hérédité de la récurrence.

Oui c'est vrai, mais je l'ai déjà utilisé plus haut.
J'ai bien utilisé un résonnement par récurrence avec une deuxième méthode.
Mon problème, c'est le 0 qui va prendre la place du 2/3.

peu importe, si u_n est entre 2/3 et 2 il est aussi entre 0 et 2

J'ai pas vraiment compris le rapport entre les deux, sauf qu'il ont en commun des images et des  antécédents.

le 2/3 et 2 est vrai dès que n=1 mais comme l'énoncé demande "un minorant et un majorant pour tout entier naturel" il est bien d'intégrer aussi n=0 et de prendre m=0 et M=2

Ah d'accord.
Sinon pour l'intervalle ]-∞;∞+[, c'est juste ?

heu, comme la fonction n'est pas définie en x = -1 et que tu sais que les u_n sont positifs, tu devrais te contenter de parler de décroissance que sur [0;+∞[

D'accord
Merci beaucoup pour votre aide et pour le temps que vous m'avez accordé.
Bonne fin de soirée.