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Exercice défis de construction de matrices

Posté par
SpeedToms 09-12-17 à 00:02

Bonjour,

j'ai un exercice avec trois question et je n'arrive pas à trouver comment résoudre ces questions.
Les questions sont les suivantes :
1) Construire une matrice M appartenant à M4x4() diagonalisable, non diagonale, ne possédant que des valeurs propres positives et dont une base de vecteurs propres est orthogonale au sens du produit scalaire canonique. En déduire alors une matrice R telle que M=R^TR (^T pour transposé)
2) Construire une matrice de projection P appartenant à M4x4() dont [1 2 -2 -1]^T est un élément du noyau
3) Construire une matrice de symétrie S appartenant à M3x3() par rapport à un plan contenant l'axe vertical de vecteur directeur [0 0 1]^T

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 08:03

Bonjour, SpeedToms .

C'est le quatrième énoncé que tu proposes en 24h. Sur le premier énoncé, j'ai donné une indication et je n'ai eu aucune réaction de ta part. Le deuxième énoncé a été résolu grâce à carpediem. Le troisième fait l'objet d'une discussion et il est probable qu'il y ait une erreur de transcription ... Il y a donc 3 sujets en cours (sur les 4 que tu as ouverts). Ce n'est pas rédhibitoire, mais cela fait beaucoup.

En ce qui concerne ce sujet:
les trois questions sont indépendantes l'une de l'autre et il faudrait donc créer deux autres topics pour les questions 2 et 3.
Je connais les réponses aux trois questions mais avant de donner des indications, je vais attendre tes interventions sur les deux sujets que j'ai évoqués.

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 13:45

Pour la première question, prendre  M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
En fait, toute matrice symétrique réelle ayant des valeurs propres réelles positives convient.
Je te laisse maintenant trouver une base orthonormale de vecteurs propres de M (ou d'une autre matrice si tu le préfères) avant de donner une indication pour la suite.

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 14:29

perroquet je suis entrain de résoudre ce que tu as marqué, tu voulais pas plutôt dire "trouver une base orthogonale" plutôt que orthonormale  ?

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 14:34

Pour ta matrice perroquet j'ai trouvé en valeur propres 2 1 et 0 et du coup j'ai construit 3 vecteurs propres :
X1 = {2,2,0,0}
X2 = {0,0,3,4}
X3 = {1,-1,0,0}
et quand je fais le produit scalaire de ces vecteurs je trouve qu'ils sont orthogonaux

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 15:39

Il s'agit bien d'une base orthonormale, c'est nécessaire pour la suite de l'exercice.
Il faut prendre X_1 unitaire     X_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 \\0\end{pmatrix}.
On va plutôt noter X_3 sous la forme X_2 et le prendre unitaire.  X_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ 0 \\0\end{pmatrix}.

La détermination du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est incorrecte. Ce sous-espace est de dimension 2 et il faut donc 2 vecteurs pour obtenir une base du sous-espace propre.
Prendre  X_3 = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \\0\end{pmatrix}  et  X_4= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \\1\end{pmatrix}.

Notons Q la matrice de passage de la base canonique à (X_1,X_2,X_3,X_4).
Quelle relation avons-nous entre M, Q et une certaine matrice diagonale D à préciser ?

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 15:54

J'ai réussi à prouver que ta matrice m marche et du coup avec les vecteurs propres j'ai pu trouver une matrice R :
-1 0 0 0
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 0 1
Cette matrice respecte les vecteurs propres qui sont de la forme :
X1 = {x x 0 0}
X2={0 0 y z}
X3={ a -a 0 0}

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:00

La relation entre M,Q et D c'est que Q^-1*M*Q = D

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:01

Non, la matrice R que tu as trouvée ne convient pas.
Tu n'as pas répondu à la question que j'ai posée à 15h39.

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:06

Q^-1*M*Q = D

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:19

Dans ce cas précis, il vaut mieux écrire:   M = QDQ^{-1}.

On va maintenant utiliser le fait que la base (X1,X2,X3,X4) est orthonormale. On sait que dans ce cas:   Q^{-1} =\, ^TQ.
Précise maintenant les valeurs de D et de Q.

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:26

En reprenant les vecteurs X1,X2,X3,X4 que tu as donné j'ai :
Q :
1/2 1/2 0 0
1/2 -1/2 0 0
0     0,1,0
0,0,0,1

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 16:27

D :
2 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Posté par
SpeedTomsConstruction matrice de projection 09-12-17 à 17:19

Comme demandé dans un autre sujet que j'ai fait je pose ici un énoncé que je n'arrive pas à résoudre :

Construire une matrice de projection P appartenant à M4x4() dont [1 2 -2 -1]^T est un élément du noyau

Merci d'avance pour vos réponses

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsConstruction matrice de symétrie 09-12-17 à 17:20

Comme demandé dans un autre sujet que j'ai fait je pose ici un énoncé que je n'arrive pas à résoudre :

Construire une matrice de symétrie S appartenant à M3x3() par rapport à un plan contenant l'axe vertical de vecteur directeur [0 0 1]^T

Merci d'avance pour vos réponses.

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 17:57

Bonsoir SpeedToms.
La matrice nulle répond à ta question.
J'imagine donc qu'il y a d'autres contraintes ?!

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 18:04

Non ça ne marche pas avec la matrice nulle. Une matrice de projection est de la forme suivante :
0 . . .
. 0 . .
. . 1 .
. . . 1

Plus généralement une matrice de projection voit sa diagonale composé d'un suite de 0 puis d'une suite de 1

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de symétrie 09-12-17 à 18:05

Bonsoir SpeedToms.
On peut imaginer que l'autre vecteur directeur du plan est [0 1 0]^T.
Donc ta matrice a deux vecteurs propres associés à la valeur propre 1.
On peut imaginer qu'en posant M([1 0 0]^T) = [-1 0 0] alors la matrice est diagonale dans la base {[0 0 1]^T; [0 1 0]^T; [1 0 0]^T} et est

M = \begin{pmatrix}1 &0  &0 \\ 0 &1  &0 \\ 0 &0  &-1 \end{pmatrix}

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 18:07

C'est nouveau ça !? Depuis quand et pourquoi ?
Une matrice M de projection est la matrice d'une application de projection p qui vérifie p^2 = p donc elle vérifie M^2 = M. C'est le cas de la nulle.

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 18:12

Non my bad j'ai juste pas lu la bonne ligne de mon cours tu as raison.
Mais il n'empêche je préférerai avoir une matrice de projection autre que la matrice nulle  

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsre : Construction matrice de symétrie 09-12-17 à 18:19

Merci pour ta réponse jsvdb ça ma beaucoup aidé

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 18:44

Tu as dû confondre avec une matrice de rotation.

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 18:55

Si tu veux une matrice non nulle alors simplement on pose \mathcal B = \{e_1 = (1,2,-2,-1)^T;e_2=(0,1,0,0)^T;e_3=(0,0,1,0)^T;e_4=(0,0,0,1)^T\}.
C'est une base de \R^4.
Dans cette base, on associe à e_1 la valeur propre 0 et aux autres la valeur propre 1.
Ta matrice s'écrit alors :

D = \begin{pmatrix}0 &0  &0  &0 \\ 0 &1  &0  &0 \\ 0 &0  &1  &0 \\ 0 &0  &0  &1 \end{pmatrix}

Tu peux trouver la matrice de passage A de \mathcal B à la base canonique et ta matrice dans cette base va s'écrire P = ADA^{-1}

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 21:22

Je comprend pas ta façon de faire quand je retranscris e1 e2 e3 e4 dans une matrice je trouve que 1 en valeur propre et du coup tout le reste de ce que tu as dit est impossible à faire

*** message déplacé ***

Posté par
jsvdbre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 21:28

Si p est l'application de projection alors : p(e_1) = 0; p(e_2) = e_2;p(e_3)=e_3;p(e_4) = e_4 .
La matrice de p est D dans la base que j'ai décrite ci-dessus

*** message déplacé ***

Posté par
SpeedTomsre : Construction matrice de projection 09-12-17 à 22:01

Ok mais du coup quand tu disais de trouver la matrice de passage A de B, je n'arrive pas à construire B.  

*** message déplacé ***

Posté par
perroquetre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 22:25

On pose  \Delta=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
On remarque que   D = \Delta^2

Et on en déduit:
M = Q D Q^{-1} = Q D Q^T = Q\Delta^2 \, Q^T = (Q\Delta)\, (Q \Delta)^T
Il suffit donc de poser   R= (Q\Delta)^ T

Posté par
jsvdbre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 22:42

De quoi sont constituées les colonnes de la matrice de passage \mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C }  de la base \mathcal B à \mathcal C ?
Comme il s'agit de la matrice de Id : (\R^4;\mathcal C) \rightarrow (\R^4;\mathcal B), les colonnes sont celles des vecteurs de \mathcal B exprimées dans \mathcal C. Donc :

\mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C } = \begin{pmatrix}1 &0  &0  &0 \\ 2 &1  &0  &0 \\ -2 &0  &1  &0 \\ -1 &0  &0  &1 \end{pmatrix}

Une telle matrice s'inverse très facilement :

\mathbf P_{\mathcal C\rightarrow \mathcal B }=\mathbf P^{-1}_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C } = \begin{pmatrix}1 &0  &0  &0 \\ -2 &1  &0  &0 \\ 2 &0  &1  &0 \\ 1 &0  &0  &1 \end{pmatrix}

il s'agit de la matrice de Id : (\R^4;\mathcal B) \rightarrow (\R^4;\mathcal C), les colonnes sont celles des vecteurs de \mathcal C exprimées dans \mathcal B

La matrice D est exprimée dans la base \mathcal B. Donc en fait on peut écrire D = D_{\mathcal B}

Il vient alors, en notant P_{\mathcal C} la matrice de la projection dans la base canonique \mathcal C : \blue \boxed {P_{\mathcal C} = \mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C }\times D_{\mathcal B}\times \mathbf P_{\mathcal C\rightarrow \mathcal B }}

Vérifions par exemple :

\begin {aligned}P_{\mathcal C}\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\\ -1\end{pmatrix} &=\mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C }\times D_{\mathcal B}\times \mathbf P_{\mathcal C\rightarrow \mathcal B }\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\\ -1\end{pmatrix} \\ & =\mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C }\times D_{\mathcal B}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ & = \mathbf P_{\mathcal B\rightarrow \mathcal C }\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}

C'est rassurant ...

Posté par
SpeedTomsre : Exercice défis de construction de matrices 09-12-17 à 22:49

Merci perroquet maintenant j'ai tout compris comment ça fonctionne.

Merci jsvdb en fait sans m'en rendre compte en retranscrivant e1 e2 e3 e4 dans une matrice j'avais construit la fameuse matrice A dont tu parlé. Merci beaucoup pour ton aide


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