bonsoir Laurierie


Pour la 3)a), comme f est de classe C², tu peux utiliser un DL à l'ordre 2 de f en x₀.
Le fait que f"(x₀) est positive vient du fait que c'est la limite d'une fonction positive.


Kaiser

Bonsoir kaiser. Malheuresement, nous n'avons pas vu les DL donc je ne peux utiliser cette méthode. Néanmoins j'ai penser à passer par la définition ce qui donnerait
f ''(xo)= f'(x)/(x-xo) car f'(xo)=0. De plus f'(x)= g'(x).2.f(x).

Mais je n'arrive pas à conclure pour autant mais j'ai ici 2 et Vf(x)... Peux tu m'aider? Merci

soit x>x₀
alors et ceci tend vers (f"(x₀)/2) quand x tend vers x₀ par valeurs supérieures.
En prenant x0, on s'aperçoit que le taux d'accroissement tend vers
-(f"(x₀)/2) quand x tend vers x₀ par valeurs inférieures.
Ainsi, g est derivable en x₀ si et seulement si f"(x₀)=0.
Avec ça, on fait les questions b et c en même temps.

Ok Kaiser, merci beaucoup. Il ne reste donc plus qu'à démontrer la 3.a,que je n'arrive toujours pas à trouver . Merci encore pour ton aide

Je t'en prie !

Tu as une idée pour la 3.a autre qu'un DL ?

En fait, je cherche toujours !!

Ok pareil pour moi;Je te tiens au courant quand j'ai quelque chose Merci

Soit x>x₀.
On pose pour tout t appartenant à [x₀,x], et on choisit K tel que (donc )On a donc
De plus, est clairement continue sur [x₀,x] et dérivable sur ]x₀,x[, donc d'après le théorème de Rolle, il existe appartenant à ]x₀,x[ tel que
Or
Donc on en déduit que

Quand x tend vers , alors aussi et donc tend vers f"(x₀).
d'où le résultat.

Re-Kaiser. J'étais plutot parti sur le théoreme des accroissements finis mais ta méthode marche très bien. Ta démonstration me rapelle un exercice ou il fallait introduire une fonction auxiliaire du même type que celle que tu as introduite,sauf que l'on était guidé, mais je n'avais pas fait le rapprochement .

En tout cas bravo et merci pour ta patience et pour ton aide. Bonne nuit

Je t'en prie !

je pense savoir de quel exo tu parles : ne serait-ce pas un exo démontrant un truc qui s'appelle la règle de L'Hopital, par hasard ?

Bonne nuit à toi aussi.

Je n'ai pas vu la règle de l'hopital mais il s'agit d'une "extension" du théoreme de Rolle:en montrant que si f et g satisfont aux hypotheses du théoreme, alors il existe c appartenant à ]a,b[ tel que (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))= f'(c)/g'(c)

En fait, cette règle est une conséquence de ce résultat.
Si f et g vérifient les hypothèses du théorème de Rolle (sur un intervalle [a,b]) avec pour tout x de ]a,b[, g(x)-g(a)0 alors si admet une limite finie L quand x tend vers a, alors tend également vers L.