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exercice dérivation

Posté par
Jam18 31-10-20 à 16:20

Bonjour à tous, j'ai un exercice sur les nombres dérivé dans mon dm auquel je bloque voici :


Soit f la fonction définie sur ]-;2[U]2;+[ par f(x) = \frac{x+1}{2-x}. Démontrer que f est dérivable en 3 et donner la valeur de f'(3).
Voici ce que j'ai fais :
On a la fonction :f(x) = \frac{x+1}{2-x} j'en déduis que :
f(h) = \frac{h+1}{2-h} et
f(a) = \frac{a+1}{2-a}
donc j'applique la formule du taux de variation :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

D'abord il faut que je trouves f(a+h)-f(a) :
f(a+h)-f(a) =(\frac{a+1}{2-a}+ \frac{h+1}{2-h}) -\frac{a+1}{2-a}
Avant de continuer la suite, est-ce que je pars bien ou pas ?
(\frac{a+1}{2-a}+ \frac{h+1}{2-h}) -\frac{a+1}{2-a} pour effectuer ce calcul, je dois tous mettre sur le même dénominateur ou je peux directement écrire :
\frac{h+1}{2-h} comme réponse vu que j'ai +f(a)et -f(a)


Je vous remercie de votre aide


Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 31-10-20 à 16:28

Bonsoir,
donc j'applique la formule du taux de variation :

t=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
Remplace a  par 3
puis  détermine la limite de t quand h tend vers zéro

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 31-10-20 à 16:59

PLSVU
Je ne comprends pas, si je remplaces par a par 3 ça fait :
\frac{f(3+h)-f(3)}{h} c'est ça ?
Grâce à la fonction on sait que :
f(3) = -4
f(h)=\frac{h+1}{2-h}
Ducoup ça fait :

\frac{-4+\frac{h+1}{2-h}+4}{h}
c'est bien ça ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 31-10-20 à 19:13

   tu as calculé f(h)  au lieu de  f(3+h)

\testit taux  d'accroissement =\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} \\
  puis  détermine  la limite de  de ce taux  quand h tend vers    0

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 31-10-20 à 20:34

PLSVU
On sait que
f(3) = -4
f(h) = \frac{h+1}{2-h}
donc


\frac{f(3+h)-f(3)}{h}


\frac{(-4+\frac{h+1}{2-h})+4}{h}
Je ne comprends pas mon erreur ?

Posté par
Leilere : exercice dérivation 31-10-20 à 20:53

en l'absence de PLSVU, à qui je rendrai la main à son retour :

ce n'est pas f(h)  que tu dois calculer mais f(3+h).
dans l'expression de f(x), il faut remplacer x par (3+h)

f(3+h)  =   ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 31-10-20 à 21:45

Leile
je pensais que f(3+h) = f(3)+f(h) d'où \frac{(-4+\frac{h+1}{2-h}+4}{h} car f(3) = -4 et f(h)=\frac{h+1}{2-h}

Ducoup je dois faire comme ça alors :
f(3+h) = \frac{3+h+1}{2-3+h} = \frac{4+h}{-1-h}
c'est correct ?



Posté par
Leilere : exercice dérivation 31-10-20 à 21:50

f(3+h) = f(3) + f(h)   n'est en général pas vrai.

f(3+h) = \dfrac{(3+h)+1}{2-(3+h)} = \dfrac{4+h}{-1-h}  ==> oui !

à présent, tu peux calculer

\testit taux  d'accroissement =\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} \\

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 31-10-20 à 21:59

Bonsoir Leile[/b ]  
[b]Jam18

il me semble que  je  précisais clairement ton erreur , peut-être n'as -tu pas lu monmessage  de  19:13

Citation :
tu as calculé f(h)  au lieu de  f(3+h)

les fonctions linéaires  ( proportionnalité ) vérifient f(a+b)=f(a+f(b)
f(3+h)≠f(3)+f(h)

ton dernier calcul
f(3+h) = \dfrac{3+h+1}{2-\red{(3+h)}} = \dfrac{4+h}{-1-h}
est juste  à condition de mettre des parenthèses  
reste à calculer  , puis à déterminer la limite  de t quand h tend vers 0
t=\dfrac{f(3+h}-f(3}}{h}
  

Posté par
Leilere : exercice dérivation 31-10-20 à 22:00

bonsoir PLSVU, je te laisse reprendre.

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 31-10-20 à 22:03

Leile ,  je n'avais pas vu ton message
oups  les balises ...
t=\dfrac{f(3+h}-f(3}}{h}

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 14:38

PLSVU Leile
Excusez moi de ma réponse tardive...
Alors je résumes :
On a f(3+h) = \frac{4+h}{-1-h} et on a f(3)= -4

\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{\frac{4+h}{-1-h}+4}{h} pour résoudre ça je multiplie par son inverse : on a
\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \frac{\frac{4+h}{-1-h}+4}{h sur 1}


je trouves ceci : \frac{4+h}{-h-h²}+4  je dois faire comment pour trouver le résultat ?

Posté par
Leilere : exercice dérivation 01-11-20 à 14:46

mmhh..

\dfrac{4+h}{-1-h}  +  4    =  ??
(meme denominateur..)

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 14:48

je viens de revoir mon dernier message  oups ...
je corrige ..
t=\dfrac{f(3+h}-f(3)}{h}
refais le calcul

t=\dfrac{\dfrac{4+h}{-1-h}-(-4)}{h}

rappel b≠0 et c≠0

\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{1}{c}

Posté par
Leilere : exercice dérivation 01-11-20 à 14:49

je te laisse poursuivre, PLSVU (je ne t'avais pas vue..).
Bon dimanche.

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 14:58

Leile

\frac{4+h+4}{-1-h+1} = \frac{8+h}{-h}


donc j'en conclu que f'(3) = \frac{8+h}{-h}

La dérivé de f(3) = -4 est f'(3)= \frac{8+h}{-h} c'est bien ça ?
Comme \frac{8+h}{-h}  est une valeur finie alors f est dérivable.

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 15:03

\frac{4+h+4}{-1-h+1} ????
tu ne sais pas calculer
\dfrac{4+h}{-1-h}-(-4)

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 15:05

-(-4)= 4 non je ne comprends pas ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 15:13

on veut l 'expression de f(3+h)-f(3)
or f(3+h)=\dfrac{4+h}{-1-h}  
et

f(3)=\red{-4}

f(3+h)-f(3)=\dfrac{4+h}{-1-h}  \red-(-4)

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 15:18

remarque
b≠0

\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}

1+h≠0

\dfrac{4+h}{-1-h}=\dfrac{4+h}{-(1+h)}=\dfrac{-(4+h)}{1+h}=\dfrac{-4-h}{1+h}

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 15:32

PLSVU
Ah oui c'est vrai , ce n'est pas possible de divisé par 0...
donc f(3+h)-(3) = \frac{-4-h}{1+h} +4 (on doit mettre au même dénominateur :
j'ai mit une image car c'est compliqué d'écrire ces fractions :
C'est bien ça ?

exercice dérivation

* Modération > Image recadrée car trop grande. Et tu pourrais faire l'effort d'écrire des fractions, au pire avec /  *

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 15:39

il  faut revoir les calculs  fractionnaires ( fais toi des fiches )
b≠0

\dfrac{a}{b}+c=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c\times b}{b}=\dfrac{a+cb}{b} \\
exemple

\dfrac{7}{9}+4=\dfrac{7}{9}+\dfrac{9\times 4}{9}=\dfrac{7+36}{9}=\dfrac{43}{9}

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 15:59

PLSVU
Ah oui pardon...
C'est mieux ça ?


* Modération > Image effacée. Une, ça pouvait passer, pas deux *

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 16:09

PLSVU
On m'a supprimé mon image...
Je trouves 3h/(1+h) c'est bien ça ?

Posté par
Leilere : exercice dérivation 01-11-20 à 16:19

oui, c'est le numerateur du taux, il te reste à diviser par h

\dfrac{\dfrac{3h}{h+1}}{\dfrac{h}{1}}  =  ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 16:19

  OUI  
t=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\dfrac{-4-h}{1+h}+4}{h}=\dfrac{\dfrac{-4-h+4+4h}{1+h}}{h}=\dfrac{\dfrac{3h}{1+h}}{h}

=\dfrac{3 h}{1+h}\times\dfrac{1}{h}=.......

puis tu en détermines la limite  de t quand h tend vers  0

Posté par
Leilere : exercice dérivation 01-11-20 à 16:21

messages croisés, PLSVU !
Excuse moi, cette fois encore je t'ai crue partie.
cette fois, je m'éclipse pour de bon.

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 16:29

PLSVU
Ok, donc \frac{3h}{1+h} * \frac{1}{h}  = \frac{3h}{h²+h}
c'est ça ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 16:39

\dfrac{3{\red h}}{1+h}*\dfrac{1}{\red{h}}  = ..........[/tex]
c'est ça ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 16:44

PLSVU
La réponse est : 3h/(h²+h) non ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 16:51

PLSVU
Ah non c'est 3/(1+h) la réponse vu qu'on supprime la réponse non ? je ne comprends pas ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 16:52

    je te rappelle que tu dois chercher la limite de t  quand h tend vers 0
si t=3h/(h^2+h )=(3*0/(0^2+0 )tu ne pourras pas conclure......
tu n'as pas appris à simplifier des quotients


\dfrac{3{\red h}}{1+h}*\dfrac{1}{\red{h}}  = ..........[/tex]

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 16:53

OK  pour t= 3/(1+h)

cherche la limite de t quand h tend vers 0

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 16:57

PLSVU Je remplaces h par 0  et je trouves 3/1 donc 3. Mais ducoup f'(3) a pour valeur 3/(1+h) c'est ça ? Merci

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 17:08

Mais du coup f'(3) a pour valeur  la limite 3/(1+h) , quand h tend vers 0 :
f'(3)=......

    

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 17:10

PLSVU
Comment je dois faire pour répondre à cette question ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 17:13

PLSVU
f'(3)=3 quand h tend vers 0 ?

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 17:13

oui  et c'est par  définition f'(3)

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 01-11-20 à 17:17

PLSVU
D'accord, je penses que nous avons terminés, tout est clair, il me reste plus qu'a tout bien écrire sur ma copie. Je vous remercie beaucoup de votre aide, bonne soirée.

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 01-11-20 à 17:22

Bonne soirée   et bon retour au lycée.

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 02-11-20 à 12:44


PLSVU
Bonjour Madame, je reviens sur le sujet car j'ai vérifié certaines choses dont :

Jam18 @ 01-11-2020 à 16:57

PLSVU Je remplaces h par 0  et je trouves 3/1 donc 3. Mais ducoup f'(3) a pour valeur 3/(1+h) c'est ça ? Merci
Je viens de vérifié ce n'est pas correct car si on remplace  h par dans  dans l'expression : \frac{3h}{h+1} sa donne \frac{3*0}{0+1} =0
Donc f'(3) = 0 c'est normal de trouver ce résultat avec l'énoncé ? C'est correct ? Merci

Posté par
Leilere : exercice dérivation 02-11-20 à 12:55

bonjour Jam18,

regarde à nouveau les posts d'hier à partir de 16:19

\frac{3h}{h+1}    c'est le numérateur du taux, ça n'est pas le taux !

pour le taux, il faut diviser encore par h  :

\dfrac{\dfrac{3h}{h+1}}{\dfrac{h}{1}}  = \dfrac{3h}{h+1}}*{\dfrac{1}{h}  

à ce moment, h ne vaut pas 0 : tu peux simplifier par h    et obtenir    3 / (1+h)

là tu as le taux.
Ensuite seulement, tu cherches la limite quand h tend vers 0 : tu remplaces h par 0, et tu trouves 3
donc f'(3) = 3

c'est OK pour toi ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 02-11-20 à 14:15

Leile
Oui tout est OK.
Donc f est dérivable en 3 ; la dérivé de f(3) = -4 est f'(3)=3
Juste une dernière question :concernant ceci  

PLSVU @ 01-11-2020 à 15:18

remarque
b≠0

\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}

1+h≠0


\dfrac{4+h}{-1-h}=\dfrac{4+h}{-(1+h)}=\dfrac{-(4+h)}{1+h}=\dfrac{-4-h}{1+h}


Certes on ne peux pas diviser par 0 mais par un nombre négatif si...
Vous pouvez m'expliquez pourquoi on ne dois pas avoir un dénominateur négatif ( on a -1-h qui devient 1+h)  ? Merci

Posté par
Leilere : exercice dérivation 02-11-20 à 14:32

tu aurais pu garder un dénominateur négatif, il n'y a pas de problème.
PLSVU a choisi de remonter le signe "-" au numérateur pace que cela lui semblait plus confortable, mais ça n'était pas obligatoire.
Le principal est de ne pas se mélanger les pinceaux avec les signes "-"   et de simplifier correctement au final.
OK ?

Posté par
Jam18re : exercice dérivation 02-11-20 à 19:40

Leile
D'accord je vous remercie beaucoup (Leile ;PLSVU)
Bonne soirée à vous

Posté par
PLSVUre : exercice dérivation 02-11-20 à 20:01

Bonne  soirée  à    vous deux , merci Leile d'avoir participé


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