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Niveau terminale
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exercice dérivation (niveau terminale)

Posté par
2020maths
27-02-21 à 17:15

bonjour, je ne comprend pas mon exercice de maths
D'après bac S, Pondichéry, avril 1998
Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par :
f(x)= e^x-1/xe^x+1

Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur [0 ;+∞[ par :
g(x)=x+2−e^x
1. Étudier le sens de variation de la fonction g sur [0 ;+∞[.
2. On admet que l'équation g(x)=0 admet une unique solution α sur [0 ;+∞[.
Déterminer un encadrement de α à 10^-3 près.
3. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

Partie B : Étude de la fonction f

1-a-Montrer que, pour tout x de [0;+infini[,

f'(x)=(e^x*g(x))/(xe^x+1)²
b- En déuire le sens de variation de f sur [0;+infini[

2-a- Prouver que f() = 1/+1
b- En utilisant l'encadrement de , donner un encadrement de f() à 10^-2 près.

3- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative Cf de f au point d'abscisse 0.

4- a - Montrer que, pour tout x de [0;+infini[,

f(x) - x = (xx+1)*u(x)/xe^x+1 avec u(x) = e^x-xe^x-1

b- Etudier le sens de variation de la fonction u sur [0;+infini[

c- En déduire le signe de u(x) sur [0;+infini[

d- Déduire des questions précédentes la position de Cf par rapport à T


j'ai uniquement fait la question 1 de la partie A
1.g(x)=x+2-e^x
g'(x)=1-e^x

on remarque que 1-e^est nul pour =0 car e^0=1
la fonction exponentielle est toujours décroissante sur R donc e^x >e^0 quand x>0 ce qui donne e^x >1 quand >0
D'où 1-e^x<0 quand  x>0
g(x) est donc décroissante sur [0 ;+∞[

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:34

bonjour

sans aller plus loin que le début d'énoncé, la fonction que tu as écrite est bien :

f(x)=e^x + \dfrac{1}{x}\; e^x + 1

?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:35

et la seule question traitée est totalement fausse !

Posté par
hekla
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:37

Bonjour

 f(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{x\text{e}^x+1}  il manque des parenthèses

Partie A g(x) =x+2-\text{e}^x

 g'(x)=1-\text{e}^x

g'(x)>0 \iff  \text{e}^x<0 mais comme l'ensemble de def est \R_+

donc  $pour tout $x \in \R_+\ g'(x)<0  la fonction est donc décroissante sur cet intervalle

encadrement de \alpha   tableur de calculatrice ou programme  dichotomie

ensuite que proposez-vous ?

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:38

bonjour la fonction est f(x) =( e^x-1)/(xe^x+1).

Posté par
hekla
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:38

Bonjour matheuxmatou

Je vous laisse,  Je suis allé vérifier sur le site de l'APMEP

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:40

hekla
tu donnes trop d'indications...

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:42

sur le tableur de ma calculatrice la fonction ne marche pas

Posté par
hekla
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:45

Non je ne pense pas. C'est ce que j'ai compris de ce qu'il avait effectué pour la première question

Quelle calculatrice ?

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:47

casio graphe 35+e

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:50

je te laisse poursuivre alors !

moi je l'aurais laisser rédiger cela proprement car c'est loufoque son explication !

Citation :
la fonction exponentielle est toujours décroissante sur R


ben voyons !

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:51

* laissé !

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:55

je m'excuse je voulais écrire la fonction exponentielle est toujours positif

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:56

ce qui ne justifie absolument pas que ex>e0 pour x>0

essaye encore

Posté par
hekla
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 17:59

J'ai dû louper cette ligne

Je vous laisse  après la calculatrice
menu table
vous écrivez votre fonction  
F5 set  début 1  fin 2 et pas 0,001  F6 tabl

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:02

on peut remarquer que 1-e^x est nul pour x = 0. Car e^0 = 1.
De plus la fonction exponentielle est croissante sur  ;
donc e^x > e^0 quand x > 0. Ce qui donne ex > 1 quand x > 0.
D'où 1-e^x < 0 quand x > 0

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:03

c'est mieux

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:06

mais pour la calculatrice on me dit toujours erreur

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:14

y a-t-il une autre façon de faire la question 2 ?

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:19

tableau de variation de g ?

de toute façon ta calculatrice ne prouvera rien ! elle se contentera de t'envoyer des valeurs ou un message d'erreur quand tu tapes n'importe quoi.

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:24

j'ai trouvé 1.125<\alpha <1.250

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:25

*1.125\leq \alpha \leq 1.250

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:31

ce ci n'est pas un encadrement à 10-3

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:34

c'est quoi un encadrement à 10-3

Posté par
matheuxmatou
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:45

ah ben avant de répondre à une question faut déjà se demander ce qu'elle signifie

ça veut dire que la taille de ton encadrement doit être de 10-3

Posté par
2020maths
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 18:47

alors c'est 1.125\leq \alpha \leq 1.250+10-3

Posté par
malou Webmaster
re : exercice dérivation (niveau terminale) 27-02-21 à 20:21

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