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exercice dérivation SUP
tout d'abord bonsoir!j'ai un grand exercice à faire mais je bute dès les deux premières questions laors si quelqu'un pouvait m'apporter de l'aide pour pouvoir poursuivre, je l'en remercie d'avance
Soit f la fonction définie sur R par:
f(x)=1/(1+x²)
1)Montrer par récurrence sur n n appartenant à N que f est n fois dérivable sur R et que pour tout x réel, on a:
f^(n)(x)=Pn(x)/(1+x²)^(n+1)
où f^(n)(x) représnte la dérivée énième de f
et où (Pn) est une suite de polynômes vérifiant
P(n+1)(x)=(1+x²)Pn'(x)-2(n+1)x Pn(x) (1)
2)Expliciter les polynômes Po,P1,P2,P3
salut mimi
donc c'est vrai pour n=1
admettons vrai pour n
calculons f^(n+1)(x) avec la formule u/v bien sur
f^(n+1)(x)=
[P'n(x)*(1+x²)^(n+1) - (n+1)2x*Pn(x)*(1+x²)^n ]/(1+x²)^(2n+2)= (1+x²)^n*[(1+x²)*P'n - 2(n+1)x*Pn]/(1+x²)^2n+2)= P(n+1)(x)/(1+x²)^(n+2) ce qui est bien
f(n+1)(x) avec P(n+1)=(1+x²)Pn'(x)-2(n+1)x Pn(x)
donc c'est vrai pour tout n
je ne te ferais pas l'affront de te calculer P0,P1,P2 et P3
bonne chance
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