Partie A - Étude d'une fonction
Soit f définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x ) = 1.
a. Déterminer lim f (x). x→+∞
1+ x ( x
1+ x − 1 . )
1+x 1+ 1+x
a. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[,
1+21 1+x
b. Montrer que pour tout x de ]0 ; +∞[, f (x)= c. En déduire lim f (x ).
.
x→0 2.
f '(x)=
b. Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[.
⎛⎡1 ⎤⎞ ⎡1 ⎤ c. Montrer que: f ⎜⎝ ⎢⎣2 ; 1⎥⎦⎟⎠ ⊂ ⎢⎣2 ; 1⎥⎦.
Partie B - Étude d'une suite
2.
1+ 1+x ()
Soit (un)définiepar:u0=1etun+1=f(un).
1. Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un ∈⎢⎣2 ; 1⎥⎦.
2. Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un+1<un.
3. En déduire que (un ) converge vers un réel a solution de l'équation f (x) = x.
Partie C - Propriété de a
Soit g définie sur [0 ; + ∞[ par g ( x ) = x 3 + x 2 − 1.
1. Montrer que g est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
2. Montrer que pour tout x de ]0 ; +∞[, f (x ) = x ⇔ g(x ) = 0. En déduire que a est l'unique solution dans [0 ; +∞[ de l'équation g (x) = 0.
3. Donner un encadrement d'amplitude 10−3 de a.
Exercice 3 (3 points)
⎡ππ⎤
Soit f définie sur ⎢ − ; ⎥ par : f ( x ) = x cos x − 2 sin x .
⎣22⎦ 1. Étudier la parité de f.
⎡ππ⎤
2. Montrer que f est dérivable sur ⎢− ; ⎥ et calculer f '(x ).
⎡ππ⎤
3. Montrer que f ' est dérivable sur ⎢− ; ⎥ et calculer f ''(x ).
⎣22⎦ 8 CNED Terminale - maThémaTiques - 2019
⎣22⎦
⎡1⎤
⎡ππ⎤
4. Dresser le tableau de variation de f ' sur ⎢− ; ⎥ . En déduire le signe de f '.
5. Dresser alors le tableau de variation de f sur ⎢− ; ⎥.