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exercice droites du plan

Posté par
sgu35
24-05-20 à 13:40

Bonjour,
j'ai besoin d'un coup de pouce sur un exercice :
Soient A,B,C trois points non alignés du plan.
Soit M \in P. Montrer qu'il existe trois réels a,b,c tels que a+b+c=1 et tels que pour tout point O on ait : \vec{OM}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}.
On suppose que M est situé à l'intérieur du triangle (ABC).Pour tous points U,V,W, on note [UVW] l'aire du triangle (UVW).Montrer :
\dfrac{a}{[MBC]}=\dfrac{b}{[MCA]}=\dfrac{c}{[MAB]}
Les droites  (AB), (AC) et (BC) ont pour équation \mu=0, \lambda=0 et \lambda+\mu=1, respectivement. Le fait que M soit intérieur à (ABC) se traduit par les conditions \mu>0, \lambda>0 et \lambda+\mu<1, soit a>0, b>0 et c>0.
Je ne comprends pas pourquoi (BC) a pour équation \lambda+\mu=1.

Posté par
carpediem
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 13:46

salut

Citation :
Soient A,B,C trois points non alignés du plan.
Soit M \in P. Montrer qu'il existe trois réels a, b, c tels que a + b + c = 1 et tels que pour tout point O on ait : \vec{OM} = a\vec{OA} + b\vec{OB} + c\vec{OC}.
ceci est faux ... à moins d'une condition supplémentaire sur M ...

que veut dire [MAB] ?

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 13:47

[MAB] est l'aire du triangle (MAB)

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 13:59

J'ai trouvé : en remplaçant O par B dans la première égalité, on obtient :
\vec{BM}=(1-\lambda-\mu)\vec{BA}+\mu\vec{BC}.
et on a M \in (BM) ssi il existe \nu \in \R, tel que \vec{BM}=\nu \vec{BC},
c'est-à-dire 1-\lambda-\mu=0

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 14:04

Une idée pour :
Le fait que M soit intérieur à (ABC) se traduit par les conditions \mu>0, \lambda>0 et \lambda+\mu<1, soit a>0, b>0 et c>0.
?

Posté par
XZ19
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 16:40

Bonjour
@carpediem.  Je ne vois  pas  de condition supplémentaire  pour M.  
@sgu35.  Je ne vois pas démonstration  pour l'existence  des  3 réels  a,b,c.  
D'autre part si  M  est intérieur au triangle cela se traduit par  a,b,c \in ]0,1[.  
Ensuite cela ne joue pas un rôle important dans la démonstration de l'égalité des 3 rapports  car égalité reste valable pour tout M  (excepté  qu'il faudra mettre une valeur absolue  et qu'on  suppose que les triangles soit d'aire non nulle ).  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 17:22

Bonjour à tous,
Si les questions étaient numérotées et pas melangées avec des morceaux de réponses, on y verrait plus clair dans l'énoncé et aussi dans nos futures aides.

Effectivement, pas besoin de condition sur M au départ.

Je ne vois pas ce que veut dire ceci :

Citation :
Les droites (AB), (AC) et (BC) ont pour équation \mu=0, \lambda=0 et \lambda+\mu=1, respectivement.

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 18:55

Voici la démonstration de :
Il existe trois réels a,b,c tels que a+b+c=1 et tels que pour tout point O on ait : \vec{OM}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}.

Par hypothèse, (A;\vec{AB};\vec{AC}) est un repère du plan. On a donc \lambda, \mu \in \R tels que \vec{AM}=\lambda\vec{AB}+\mu\vec{AC}.
Pour tout point O \in P, on a alors :
\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{AM}
=\vec{OA}+\lambda (\vec{OB}-\vec{OA})+\mu(\vec{OC}-\vec{OA})
 \\ =(1-\lambda-\mu)\vec{OA}+\lambda\vec{OB}+\mu\vec{OC}
d'où le résultat avec a=1-\lambda-\mu, b=\lambda , c=\mu.
Ces trois réels sont bien de somme 1 et indépendants de O.

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 18:58

Citation :
Je ne vois pas ce que veut dire ceci :
Citation :
Les droites (AB), (AC) et (BC) ont pour équation \mu=0, \lambda=0 et \lambda+\mu=1, respectivement.


Cela veut dire que (AB) a pour équation \mu=0,
(AC) a pour équation \lambda=0,
et (BC) a pour équation \lambda+\mu=1,
\lambda et \mu sont définis dans mon message précédent.

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 19:05

Citation :
Ensuite cela ne joue pas un rôle important dans la démonstration de l'égalité des 3 rapports  car égalité reste valable pour tout M  (excepté  qu'il faudra mettre une valeur absolue  et qu'on  suppose que les triangles soit d'aire non nulle ).

Les bases (\vec{MA},\vec{MB}), (\vec{MB},\vec{MC}),(\vec{MC},\vec{MA}) sont directes si M est à l'intérieur du triangle (ABC), ce qui permet de manipuler les déterminants et non leur valeur absolue.

Posté par
carpediem
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 20:46

oui pardon en voyant M P et a + b + c = 1 j'ai pensé à a, b et c positifs ... d'où contradiction avec  M P

je ne sais pas pourquoi tu te complique la vie ainsi ...

connais-tu les barycentre ?

pour tout triplets de points A, B et C non alignés (PS : ne pas être alignés signifie donc qu'ils sont distincts ...)

alors le plan (ABC) est l'ensemble des barycentres des points pondérés (A, a), (B, b) et (C, c) avec a + b + c <> 0

il suffit alors de diviser par a + b + c pour que cette somme de coefficients vaille 1 ...

quant à la relation avec le point O c'est uniquement la relation de Chasles dans une relation barycentrique ...

mais il est vrai comme il a été dit plus haut qu'on ne comprend rien à cette énoncé ...

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 20:55

Citation :
oui pardon en voyant M \in P et a + b + c = 1 j'ai pensé à a, b et c positifs ... d'où contradiction avec  M \in  P  

je ne sais pas pourquoi tu te complique la vie ainsi ...


Je ne vois pas la contradiction...

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 24-05-20 à 21:08

Pour être plus clair, voici l'énoncé de l'exercice :

a)Soient A,B,C trois points non alignés du plan.
Soit M \in P. Montrer qu'il existe trois réels a,b,c tels que a+b+c=1 et tels que pour tout point O on ait : \vec{OM}=a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}.

b)On suppose que M est situé à l'intérieur du triangle (ABC).Pour tous points U,V,W, on note [UVW] l'aire du triangle (UVW).Montrer :
\dfrac{a}{[MBC]}=\dfrac{b}{[MCA]}=\dfrac{c}{[MAB]}
Qu'obtient-on lorsque M est le centre de gravité du triangle (ABC)?

Dans le a), on montre que :
\vec{OM}=(1-\lambda-\mu)\vec{OA}+\lambda \vec{OB} +\mu \vec{OC}

Dans le b), on montre que :
Les droites  (AB), (AC) et (BC) ont pour équation \mu=0, \lambda=0 et \lambda+\mu=1, respectivement. Le fait que M soit intérieur à (ABC) se traduit par les conditions \mu>0, \lambda>0 et \lambda+\mu<1, soit a>0, b>0 et c>0.

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 11:46

Personne?

Posté par
lafol Moderateur
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 11:53

bonjour
si je comprends bien, ton souci est "comment on obtient que pour (BC) on a l'équation \lambda + \mu = 1" c'est bien ça ?

Posté par
lafol Moderateur
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 11:56

part de ça :

Citation :
Dans le a), on montre que :
\vec{OM}=(1-\lambda-\mu)\vec{OA}+\lambda \vec{OB} +\mu \vec{OC}

et un petit coup de Chasles pour commencer les vecteurs avec B plutôt que O (ça tombe bien, 1 = (1-\lambda-\mu) + \lambda+\mu ...)
puis dire que M est sur (BC) si et seulement si les vecteurs BM et BC sont colinéaires, et comme A n'est pas sur (BC)....

Posté par
lafol Moderateur
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 11:57

ah ben en fait, non, ce n'était plus ça qui te posait problème ...

sgu35 @ 24-05-2020 à 13:59

J'ai trouvé : en remplaçant O par B dans la première égalité, on obtient :
\vec{BM}=(1-\lambda-\mu)\vec{BA}+\mu\vec{BC}.
et on a M \in (BM) ssi il existe \nu \in \R, tel que \vec{BM}=\nu \vec{BC},
c'est-à-dire 1-\lambda-\mu=0


du coup c'est quoi ta question maintenant ?

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 12:00

Citation :
et un petit coup de Chasles pour commencer les vecteurs avec B plutôt que O

On pourrait aussi remplacer O par B.

Posté par
lafol Moderateur
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 12:02

ça dépend s'il était écrit "quel que soit le point O" ou pas ....

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 12:02

Je n'ai plus de question puisque j'ai résolu le problème.

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 12:03

C'était bien écrit :

Citation :
tels que pour tout point O

Posté par
lafol Moderateur
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 12:05

du coup ça :

sgu35 @ 25-05-2020 à 11:46

Personne?

c'était pour quoi ?

Posté par
sgu35
re : exercice droites du plan 25-05-20 à 15:08

C'était pour demander à des gens de m'écrire.



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