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exercice / equa diff / Malthus
Bonjour,
Je ne comprend pas la question je suis donc bloqué.
Voici l?énoncé :
Le modèle de Malthus n?est pas réaliste : à long terme, l?espace restreint ou la quantité de nourriture freinent l?accroissement de la population.
Le modèle de Verhulst est basé sur l?hypothèse que la vitesse d?accroissement est proportionnelle d?une part à la population g(t), et d?autre part à la capacité d?accueil encore disponible M-g(t), où M est une constante représentant l?effectif maximal qui peut apparaître au sein de cette population.
Si on suppose que l?île peut contenir au maximum 1 000 lapins, la fonction g (en milliers de lapins) vérifie alors l?équation logistique (E2) y'= ay(1 ? y), où a = 0,05.
1) On pose z = 1/y. Montrer que l?équation (E2) équivaut à z'+ az = a (E3).
2) Résoudre l?équation différentielle (E3), et montrer que g(t) =1/1 + 99e^-0,05t
3) Etudier g sur [0 ; +
[ (variations, limites) et représenter g dans le plan : on obtient la
courbe logistique.
Pourriez vous m?aider svp ?
Merci d?avance !
modération> **julien90, j'ai complété ton titre
La prochaine fois , essaie de choisir un titre plus explicite, lire Q08 
[lien]**
salut
et que ne conprends-tu pas ?
tu as l'équation différentielle (E) : y' = ay(1 - y) d'inconnue la fonction y (dérivable)
on te propose le changement de variable z = 1/y ou encore y = 1/z
que penses-tu de dériver y et remplacer y et y' en fonction de z dans (E) ?
merci pour votre réponse
Oui pour la question 1, j'ai pensé à trouver y par rapport à z = 1/y donc je pense que y = 1/z mais je ne suis pas certain.
Sinon si c'est bien ça, la dérivé serait y'= -z'/z^2
Donc ensuite je pensais isoler à en replaçant y et y' que j'ai trouvé au dessus avec y' = ay(1-y)
Donc -z'/z^2 = a*1/z(1-1/z)
Et à ce moment là je ne sais pas comment il faut faire pour isoler a.
Je ne suis vraiment pas certain que cela soit correct...
qu'en pensez-vous ?
pourquoi isoler a ?
c'est une constante (que tu connais d'ailleurs) et qui dépend du contexte ...
peut-être simplement simplifier cette nouvelle équation ... d'autant plus que tu connais le résultat ...
D'accord merci, j'ai donc réussis à faire la question 1.
Pour la question 2 je ne comprend comment résoudre l'équation différentielle ( E3) c'est à dire je ne comprend pas comment on se retrouve à la fin avec une fraction, je n'arrive pas du tout. Sinon j'ai quand même essayé de retrouver C qui est égal à 99 et je pense avoir réussis car j'ai fais :
t=0 donc 1/1+99e-0,05*0 = 1/100
Donc il reste 1/1+C = 1/100 donc C=99.
Pensez vous que cela soit correct ?
Merci d'avance !
l'équation E3 est la classique de terminale que tu dois avoir dans ton cours ... ou voir dans ton livre ...
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Bonsoir,
J'ai donc essayé de répondre à la question mais je ne suis pas sûr que ce soit correct.
Voici ce que j'ai fait :
z' = a - az
Équivaut à : z'= -az + a
z' = -0,05z + 0,05
La solution de l'équation s'écrit : Ce^a*t - b/a
Donc Ce^(-0,05)*t - 0,05/(-0,05)
= Ce^(-0,05)*t + 1
Puis ensuite je suis bloqué je ne sais pas comment on peux passer à un fraction avec cela
Pourriez vous m'aider svp ?
Merci d'avance !
je pense que cette histoire de fraction est une erreur d'énoncé ...
ce que tu as trouvé me semble correct et il te reste à trouver la constante C à l'aide d'une hypothèse de l'énoncé ... (mais ce que tu as fat à 10h35 est faux : tu ne connais pas la population de lapins à t = 0)
Bonjour,
Si alors
.
Autre chose : il me semble qu'il manque dans ton énoncé la quantité de lapins au temps .
10 lapins peut-être ?
Je pense qu'elle justifie l'écriture de l'équation :
S'il y avait eu une capacité maximale de milliers de lapins comme indiqué au début de l'énoncé :
la vitesse d'accroissement est proportionnelle d?une part à la population g(t), et d'autre part à la capacité d?accueil encore disponible M-g(t), où M est une constante représentant l'effectif maximal qui peut apparaître au sein de cette population.
l'équation différentielle correspondante aurait du être :
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