Bonjour !
Voici l'énoncé de mon exo :

On se propose de construire un réservoir en tôle en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur est 4m³. (schéma du pavé, on nous donne longueur = 2m)

1. Déduire de l'énoncé une relation entre h et x (où h est la hauteur et x la largeur)

Le volume d'un parallélépipède rectangle est égal à la hauteur x la largeur x la longueur. Or on a une longueur de 2m et un volume final de 4m³. Le produit de la hauteur et de la largeur doit donc être égal à 2, d'où :

hx = 2
x = 2/h
h = 2/x
2h = 4/x


2. Exprimer en fonction de x, l'aire totale des faces du réservoir.

A = (2 2x) + (2 hx) + (2 2h)
  = 4x + (2 2) + (2 4/x)
  = 4x + 4 + 8/x

3. Soit la fonction f(x) = 4x + 4 + 8/x pour tout x [0.5;4].
a) Calculer f'(x)

f'(x) = 4 - 8/x²

b) Etudier le signe de f'(x).

On a f'(x) = 4 - 8/x² = (4x² - 8)/x²
et x²>0 donc la dérivée est du signe de 4x² - 8.

= b² - 4ac
= 0 - 4 4 (-8)
= 128

x₁ = -128/8

x₂ = 128/8

f'(x) est négative sur [0.5;128/8] et positive sur [128/8;4]

c) Dresser le tableau de variations, en précisant les valeurs particulières du tableau.

Sauf que là mes valeurs sont assez rocambolesques...

d) En déduire les dimensions du réservoir pour que l'aire soit minimale.


Je poste juste pour savoir si je ne me suis pas plantée quelque part, donc s'il vous plaît âmes charitables, à l'heure de manger, ayez pitié de moi

Merci d'avance !


P.S.: La racine ne va que sur 128.