bonjour permettez moi de vous répondre

la droite (D) d'équation y=mx+p lorsqu'elle coupe la parabole d'equation y=x² elle la coupe en 2 points A et B tels que: x²=mx+p et y=mx+p

x²-mx-p=0 admet forcément deux solutions, qui peuvent être confondues, si m²+4p>0.

si tel est le cas soient x1 et x2 les deux solutions de cette équation.

supposons que x1<x2 A(x1,mx1+p) et B(x2,mx2+p)

le point P d'abscisse x appartient à l'arc AOB ssi x appartient à [x1,x2].

dans ce cas le point P a pour coordonné (x,x²).

les vecteurs AP=(x-x1,x²-mx1-p)
             AB=(x2-x1,m(x2-x1))

ont pour produit vectoriel:

AP^AB=[m(x-x1)(x2-x1)-(x2-x1)(x²-mx1-p)]k  avec k=i^j
     = (x2-x1)(mx-mx1-x²+mx1+p)k
     = (x2-x1)(-x²+mx+p)k

l'aire du triangle APB est donc A(x)=||AP^AB||/2

A(x)=((x2-x1)/2)|-x²+mx+p|

comme P appartient à l'arc AB de la parabole donc il est au-dessous de la droite (D) donc x²<mx+p donc -x²+mx+p>0

donc
A(x)=((x2-x1)/2)(-x²+mx+p)
c'est une parabole concave car le coefficient de x² est négatif.
sa dérivée est A'(x)=((x2-x1)/2)(-2x+m)

s'annulle en x'=m/2

en x' A atteint sont maximum en A(m/2).

A(m/2)=((x2-x1)/2)(-m²/4+m²/2+p)
      =((x2-x1)/2)(m²/4+p)

voila bon courage.

un précision:

A(m/2)=((x2-x1)/2)(m²/4+p)
      =((x2-x1)/2)(m²+4p)/4

est bien >0 car: x2>x1 et m2+4p>0 comme descriminant de x²-mx-p=0.

Je peux te montrer une façon possible, mais longue.
(Je ne ferai pas les calculs).

Détermination des points A et B

y = x²
x = mx + p

x² = mx+p
x²-mx-p = 0

x = [m +/- V(m²+4p)]/2    (V pour racine carrée).

A([m - V(m²+4p)]/2 ; [m - V(m²+4p)]²/4)
B([m + V(m²+4p)]/2 ; [m + V(m²+4p)]²/4)
---
Soit le point P(X ; X²)  avec X dans [(m - V(m²+4p))/2 ; (m + V(m²+4p))/2]
---

|AB|² = m² + 4p - (1/4).m.V(m²+4p)

|AB| = V[m² + 4p - (1/4).m.V(m²+4p)]

|AP|² = ((m - V(m²+4p))/2 - X)² + ((m - V(m²+4p)]²/4) - X²)²

|AP| = V[((m - V(m²+4p))/2 - X)² + ((m - V(m²+4p)]²/4) - X²)²]

|BP| = V[((m + V(m²+4p))/2 - X)² + ((m + V(m²+4p)]²/4) - X²)²]
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Formule de Héron pour l'aire d'un triangle de cotés a, b et c
Avec p = (a+b+c)/2

Aire = V[p(p-a)(p-b)(p-c)]
----
Dans le cas du problème, on a:
a = |AB| = V[m² + 4p - (1/4).m.V(m²+4p)]
b = |AP| = V[((m - V(m²+4p))/2 - X)² + ((m - V(m²+4p)]²/4) - X²)²]
c = |BP| = V[((m + V(m²+4p))/2 - X)² + ((m + V(m²+4p)]²/4) - X²)²]

Bon courage (sans moi) pour continuer.
Calcul très long mais sans difficulté pour trouver Aire(PAB) en fonction de X

Et ensuite dérivée première pour trouver le max
...

Si personne n'a une autre idée et que tu as le courage d'attaquer par la voie indiquée, vérifie mes calculs avant de continuer.
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A mon avis vous compliquez ( et Hum...le produit vectoriel ..)
On a A(a,a²); B(b,b²) et P(x,x²)
A=aire grand trapèze "avec A et B"-aire trapèze "avec A et P"-aire trapèze "avec B et P"
et avec (grande base+petite base)*hauteur/2 on a

( S : aire de PAB )
S(x)=(a²+ b²)(b-a)/2-(x²+a²)(x-a)/2-(b²+x²)(b-x)/2
S(x)=(a²+ b²)(b-a)/2-(x^3-ax²+a²x-a^3)/2-(b^3-xb²+x²b-x^3)/2    
(on peut la simplifier ou attaquer directement S' )
S'(x)=-3x²/2+ax-a²/2+b²/2-bx+3x²/2
S'(x)=x(a-b)+(b²-a²)/2
S' fonct affine décroissante car (a-b)<0,
donc de signe + 0 -
S'(x)=0 pour x = -(b²-a²)/(2(a-b))=(a+b)/2
Donc l'aire est max pour x=(a+b)/2 ( milieu de [AB] )

Une petite remarque : le produit vectoriel n'est plus au programme des Terminales en Math...

merci à tous je vais essayer de comprendre maintenant !!

et c vrais que le produit vectoriel je vois pas trop ce que c !!

j'ai oublié de faire le lien avec la solution de Watik
je trouve (a+b)/2
avec a et b abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y=mx+p avec la parabole y=x²
Or ce sont les solutions de l'équation x²-mx-p=0
(qui en a ici d'après le problème)
et il est facile de voir ( ou "on sait") que  la somme de ces solutions est m
donc m/2 ou (a+b)/2 c'est kifkif
(mais m/2 correspond plus aux données)

merci encore à tous mais aprés avoir mieux regardé vos réponse je suis toujours un peu dans le floux !! en particulier pour la réponse de watik, je comprends pas bien le moment où il parle de vecteurs !

Salut tout le monde !
Il se trouve que j'ai le même exercicie à faire pour mardi 9 novembre et il est vraiment trop dur pour moi aussi ! De plus, les solutions ne m'ont pas énormément éclairé. Je vais m'efforcer de comprendre aussi mais si quelqu'un pouvait mieux expliquer ce serait symaptique!
Merci d'avance !!!

help us !
personne n'a une idée plus simple s'il vous plaît ?