Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire :
Soit g la fonction définie sur par g(x)=ex - xex + 1
Partie 1 :
1.Déterminer la limite de g en +.
2.Etudier les variations de g.
3.Donner le tableau de variations de g.
4.a. Démontrer que l'équation de g(x)= 0 admet une unique solution sur [0;+[. On note cette solution.
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10-2 de .
c. Démontrer que e =
5.Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
Partie 2 :
Soit A la fonction définie et dérivable sur [0;+[ telle que A(x)=
1.Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, A'(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans la partie 1.
2.En déduire les variations de la fonction A sur [0;+[.
Partie 3
On considère la fonction f définie sur [0;+[ par :
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, , ).
Pour tout réel x positif ou non nul, on note : M le point de C de coordonnées (x;f(x)) ; P le point de coordonnées (x;0) ; Q le point de coordonnées (0; f(x)).
1.Démontrer que l'aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse .
2.Le point M a pour abscisse . La tangente () en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?
Partie 1
1.La limite est -
2.g'(x) = -xex. g'(x) est positif sir x<0 et est négatif si x>0.
3.Du coup g(x) est croissant sur ]-;0] et décroissant sur [0;+[.
4.a.Sur [0;+[ g(x) est strictement décroissante et continu prend pour valeurs dans ]-;2].
L'équation g(x)=0 admet donc une unique solution (TVI).
b.1,27<<1,28.
c.e - e+1=0
1= -e + e
e(-1)= 1
e = 1/(-1)
5.avant g(x) est positif et après est négatif.
Partie 2
A'(x)=
=
Le dénominateur est un carré donc A'(x) dépend du signe de son numérateur et donc de g(x).
2.A(x) est donc croissant sur [0;] puis décroissant sur [;+[.
Partie 3 :
1. Aire du rectangle :
x*f(x)= x *
= A(x).
Et A atteint son maximum en . Donc l'aire est maximale en .
2.C'est pour cette question, j'ai fait l'équation de la tangente :
Mais ensuite je sais pas trop comment faire...
Salut,
"Droites parallèles" équivaut à "mêmes coefficients directeurs"
et : coeff dir de (PQ) = (yQ-yP)/(xQ-xP) = ... ; coeff dir de la tgte =
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