Bonjour, voici un exercice que j'ai à faire :

Soit g la fonction définie sur par g(x)=e^x - xe^x + 1

Partie 1 :
1.Déterminer la limite de g en +.

2.Etudier les variations de g.

3.Donner le tableau de variations de g.

4.a. Démontrer que l'équation de g(x)= 0 admet une unique solution sur [0;+[. On note cette solution.
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude 10^-2 de .

c. Démontrer que e =

5.Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie 2 :
Soit A la fonction définie et dérivable sur [0;+[ telle que A(x)=


1.Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, A'(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie dans la partie 1.

2.En déduire les variations de la fonction A sur [0;+[.

Partie 3

On considère la fonction f définie sur [0;+[ par :



On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, , ).

Pour tout réel x positif ou non nul, on note : M le point de C de coordonnées (x;f(x)) ; P le point de coordonnées (x;0) ; Q le point de coordonnées (0; f(x)).

1.Démontrer que l'aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse .

2.Le point M a pour abscisse . La tangente () en M à la courbe C est-elle parallèle à la droite (PQ) ?


Partie 1

1.La limite est -

2.g'(x) = -xe^x. g'(x) est positif sir x<0 et est négatif si x>0.

3.Du coup g(x) est croissant sur ]-;0] et décroissant sur [0;+[.

4.a.Sur [0;+[ g(x) est strictement décroissante et continu prend pour valeurs dans ]-;2].
L'équation g(x)=0 admet donc une unique solution (TVI).

b.1,27<<1,28.

c.e - e+1=0
1= -e + e
e(-1)= 1
e = 1/(-1)

5.avant g(x) est positif et après est négatif.

Partie 2

A'(x)=
=
Le dénominateur est un carré donc A'(x) dépend du signe de son numérateur et donc de g(x).

2.A(x) est donc croissant sur [0;] puis décroissant sur [;+[.

Partie 3 :

1. Aire du rectangle :

x*f(x)= x *
= A(x).

Et A atteint son maximum en . Donc l'aire est maximale en .

2.C'est pour cette question, j'ai fait l'équation de la tangente :



Mais ensuite je sais pas trop comment faire...