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Exercice exponentielles
Bonjour,
en révisions pour le bac blanc de maths de la rentrée j'ai des soucis avec les fonctions exponentielles, nous n'avons vu que très brièvement en cours ce chapitre..
On considère la fonction Fk(x)= (x+k)e^-x où k est un nombre réel donné.
On not Ck la courbe représentative de la fonction Fk dans un repère orthogonal.
1. Montrer que la fonction Fk admet un maximum en x=1-k
2. On note Mk le point de la courbe Ck d'abscisse 1-k. Montrer que le point Mk appartient à la courbe d'équation y= e^-x
Merci beaucoup d'avance je me sens complétement perdu même avec les cours et les annales..
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
4. Ne PAS DONNER SON ENONCE BRUT, écrire également les pistes de réflexion, les problèmes rencontrés, RECOPIER SES RECHERCHES , pas de scan de brouillon de recherche dans les messages,
en quelle langue faut-il le demander ?
Oulà donc :
fk(x) = (x+k) e^-x
On reconnaît (uv)' = u'v + uv' avec :
u(x) = x+k
u'(x) = 1
v(x) = e^-x
v'(x) = -e^-x
f'(x) = e^-x + (x+k)*-e^-x
= e^-x -xe^-x - ke^-x
Est-ce correct ?
Plus ou moins..... avec des parenthèses cela serait plus lisible !!
f'(x) = e^-x + (x+k)*[-e^-x ]
Le signe *- n'existe pas ...
Inutile de développer ensuite mais au contraire factoriser en mettant e-x en facteur
J'ai donc :
f'(x) = e^-x(1-x-k)
Pour montrer que la fonction admet un maximum en x=1-k :
Puis-je dire que f'(x) est du signe de (1-x-k) car e^-x est toujours positif ?
Pour ensuite faire :
1-x-k=0
<=> 1-k=x ?
Merci beaucoup de votre aide :'/
J'ai donc :
f'(x) = e^-x(1-x-k)
Pour montrer que la fonction admet un maximum en x=1-k :
Puis-je dire que f'(x) est du signe de (1-x-k) car e^-x est toujours strictement positif ? OUI bien sûr
Pour ensuite faire :
1-x-k=0
<=> 1-k=x ?
Minimum ou maximum ?? l'étude du signe te le dira
Merci beaucoup de votre aide :'/
Je ne vois pas bien comment étudier le signe, je ne sais pas quoi placer dans mon tableau de signe :
Dois-je faire le tableau pour fk(x) = (x+k) e^-x avec une ligne pour x+k, une pour e^-x et la dernière pour le signe ?
"f'(x) est du signe de (1-x-k)"
Etudier le signe de f' c'est étudier le signe de 1-x-k suivant les valeurs de x...
Tu as commencé en étudiant 1-x-k = 0 ==> x = 1-k
Continue avec 1-x-k >0
(puis 1-x-k <0 si cela t'amuse !!)
Typex,
tu dois regarder le signe de la dérivée ...
x varie de -oo à +oo
la dérivée s'annule pour x = 1-k
quand x < 0 que 1-k, f'(x) est positive ou negative ?
1-x-k>0
<=> x < 1-k ?
Je ne comprends pas en quoi cela m'avance pour savoir si c'est la maximum ou le minimum ?
Typex,
tu dois regarder le signe de la dérivée ...
x varie de -oo à +oo
la dérivée s'annule pour x = 1-k
quand x < 0 que 1-k, f'(x) est positive ou negative ?
f'(x) est supérieur à 0 quand x est inférieur à 1-k ?
f'(x) est du signe de (1-x-k)
f'(x) est supérieur à 0 quand 1-x-k > 0 soit quand x est inférieur à 1-k OUI
Fais un tableau avec les valeurs de x (dont 1-k !!)
le signe de 1-x-k
le signe de la dérivée
le sens de variation de f
Cela te permettra de répondre à la question posée où l'on parle d'un ... maximum 
Je ne comprends pas ce que vous entendez par les valeurs de x ?
Je suis completement perdu à cause du 1-k je ne sais pas où le placer dans mon tableau ..
x varie de -oo à +oo en passant par la valeur 1-k
la dérivée s'annule pour x = 1-k
(en dessous de 1-k, f'(x)=0)
quand tu fais un tableau habituellement, tu cherches la valeur de x qui annule la dérivée, n'est ce pas ? Ici au lieu de trouver un nombre précis, on a trouvé 1-k
ensuite tu écris le signe de la dérivée avant et après cette valeur.
quand x inférieur à 1-k, f'(x) est positive ou négative ?
ou si tu préfères, quand x < 1-k est ce que 1-x-k est positif ou négatif ?
Je ne peux pas mettre une photo de ce que je fais mais en gros :
x | -oo 1-k +oo
1-x-k | + 0|0 -
f'(x) | croissant décroissant
Est-ce correct ?
oui, c'est ça.
Donc tu as montré que f(x) admet un extremum pour x = 1-k et que cet extremum est un maximum.
as tu compris ?
Oui merci beaucoup c'était laborieux désolé mais j'ai enfin compris !
Concernant la deuxième question si je peux encore vous solliciter il faut que je montre que la courbe y=e^-x passe par la courbe Cf a un point d'abscisse 1-k ?
Je ne vois pas ce que la question veut que je démontre et comment
on te dit que Mk est sur la courbe Cf
son abscisse = (1-k)
quelle est son ordonnée ?
peux tu en déduire que ce point est sur la courbe d'équation y = e^-x ?
Je vois que tu as compris, c'est super !
Pendant que Leile te guidait, j'ai rédigé ce qui suit.
Si cela peut encore t'être utile...
Je crois que tu cherches quelque chose de compliqué alors que c'est... tout bête (au moins quand on a compris 
)
k est un nombre ! si tu donnes à k une valeur, par exemple k=2, la fonction à étudier est
f2(x) = (x+2)e-x
sa dérivée est f'(x) = e-x +(x+2)(-1)(e-x) = e-x [1-x-2]
= e-x [-x-1]
Etude du signe de la dérivée (le signe de la dérivée est le signe du binôme (-x-1))
f'(x) = 0 si et seulement si -x-1 = 0 soit x=-1
f'(x) > 0 si -x-1 >0 soit x< -1 (NB le changement de signe à lieu pour 1-k = 1-2 = -1 !!!)
Dans ce cas particulier tu saurais, je pense, faire le tableau donnant le signe de la dérivée puis le sens de variation de f .... puis tracer la courbe représentative de f avec son maximum d'abscisse -1
Dans le cas "général", tu fais pareil. Il y a autant de fonction fk que de valeurs possibles pour k (donc une infinité !!) et chacune de ces fonctions telles que définies par l'énoncé admet un maximum d'abscisse 1-k. D'où une multitude de courbes représentatives de ces fonctions.
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