Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Loi à densitéTopics traitant de Loi à densité [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

exercice fonction à densité

Posté par
ozpacker 02-11-19 à 12:20

Bonjour à tous,

je suis face à un nouveau problème, je vous poste le sujet ci-dessous,merci de votre aide :

Soit la fonction f définie sur l'intervalle I= \left[-2 ; 10 \right] par f(x)= \frac{5}{72}(-0,05x^2+0,4x+1)


1) démontrer que f est une focntion à densité sur l'intervalle I
2) soit X une variable aléatoire de fonction densité f sur I
- calculer P(0\leq x\leq 3)
- calculer P(X\geq 5)

3) déterminer l'ésperence mathématique de X


Alors pour la première question je sais que pour prouver que f est une focntion à densité il faut remplir 3 conditions qui sont :
- f doit être continue sur I
- f doit être positive sur I
- aire = 1

Pour la première condition j'ai dit que f est un polynome donc f est continue sur (-2 ; 10)

Pour la deuxième condition, je dois chercher le signe de f sur I
cependant je bloque sur ce point, dois-je calculer le discriminant de (-0,05x^2 +0,4x+1) ? car je trouve un nombre positif mais cela ne correspond pas au graphique .. OU dois'je développer par 5/72 avant ? je suis un peu perdu ...

(Je suis désolé mais je reprends les études donc des choses simples et évidentes pour vous ne le sont peut être pas pour moi !)

merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 14:00

Bonjour, oui tu calcules le discriminant (tu t'en fiches du 5/72, il ne change ni les racines ni le signe).

rappel : un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur de ses racines et du signe contraire entre.

on trouve évidemment -2 et 10 comme racines d'où le domaine de définition de la fonction, elle est définie sur sa partie positive.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 14:53

très bien donc ma logique était bonne, le problème c'est que je ne trouve pas 2 et 10 (je sais que ce sont ces chiffres la qui doivent être trouvé)

reprenons ensemble :

discriminant = b^2 -4ac

donc = 0,36

pour la première racine  :

\frac{-b-\sqrt{0,36}}{2(-0,05)}= 0,025

... c'est pour cela que je suis bloqué ...

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 14:57

je pense que c'est une erreur de parenthèse ... je continu l'exercice

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 14:59

salut, la premiere racine vaut 10

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:14

j'ai fais le tableau de signe c'est bon j'ai montré que f était positive sur l'intervalle étudié.
Maintenant je dois montrer que l'aire est = à 1

donc :

A = \int_{-2}^{10}{f(x)dx} = \frac{5}{72}\int_{-2}^{10}{\frac{1}{3}(0,05x^3) + \frac{1}{2}(0,4 x^2)+1x}

cela vous semble t-il cohérent ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:15

b²-4ac = (0.4)²-4(-0.05) = 0.36 = (0.6)²

x = (-0.4 0.6)/(-0.1) qui donne bien -2 ou 10

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:19

non, tu as écris la primitive sous le signe intégral ! et puis il y a un signe - devant x^3

A = \frac{5}{72}[{\frac{1}{3}(-0,05x^3) + \frac{1}{2}(0,4 x^2)+1x}]_{-2}^{10}

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:24

mise à part le "-" que j'ai oublié devant le 0,05 ma primitive était correcte ?
ON EST DACCORD ici le but est de chercher l'air sous la courbe donc l'intégralle entre 10 et -2 ?

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:31

Lorsque je remplace dans l'expression je trouve à la fin :

0,926 - ( - 0,185) = 1,111

Donc pas 1 comme recherché ...

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:33

Citation :
mise à part le "-" que j'ai oublié devant le 0,05 ma primitive était correcte ?

la primitive oiu, mais il ne fallait pas la mettre sous le signe intégral.

on trouve bien 1, tu as dû faire des erreurs de calculs.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:48

très bien donc c'était "juste" une erreur d'écriture, par contre pour la Primitive est-on obligé "d'isoler" 5/72 ?

ou peut-on mettre \frac{5}{72}x (.......)

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 15:54

j'ai refais X fois le calcul je tombe sur 1,11111

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 16:13

j'arrive un peu tard mais tant pis c'est tape

\\ \begin{aligned} \\ A=\frac{5}{72}\int_{-2}^{10}\left(-\frac{1}{20}x^2+\frac{2}{5}x+1\right)\mathrm{d}x \\ \end{aligned} \\

\\ \begin{aligned} \\ A=\frac{5}{72}\left[-\frac{1}{60}x^3+\frac{1}{5}x^2+x\right]_{-2}^{10} \\ \end{aligned} \\

\\ A=\dfrac{5}{72}\left[\left(-\dfrac{50}{3}+20+10\right)-\left(\dfrac{2}{15}+\dfrac{4}{5}-2\right)\right] \\

\\ A=\dfrac{5}{72}\left(\dfrac{40}{3}+\dfrac{16}{15}\right) \\

\\ A=1 \\

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 21:29

pour P (0\leq X\leq 3)
je trouve = 0,302

Est-ce correct ? j'ai fais le même calcul mais dans l'integrale de 0 à 3

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 21:33

Par contre comment faire pour P(X>5) ?

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 21:42

integrale de 5 à 10 pardi ! verif

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 21:52

pour la probabilité c'est bon ? 0,302 ?

ah oui mince c'est logique car I est sur -2 ; 10
donc même manip

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:00

pour l'espérance voici ma démarche :

E(X) = \int_{-2}^{10}{x f(x) dx}
E(X) = \int_{-2}^{10}{x\times \frac{5}{72}(-0,05x^2+0,4x+1) dx= \frac{5}{72}\int_{-2}^{10}{(-0,05x^3+0,4x^2+x)}}
= \frac{5}{72}\left[\frac{-0,05}{4}x^4 + \frac{0,4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]= \frac{5}{72}\left[(-125+133,33+50) - (-0,2-1,067+2) \right]
= 4

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:13

Pour P(>5) je trouve environ : 0,376

Donc rappel des réponses,

P(0<X<3) = 0,302

P(>5) = 0,376

Et E(X)=4

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:19

oui tres bien, j'ai oublie l'esperance dans mon lien, c'est bien 4

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:23

Parfait, désolé mais je n'ai pas accès à ton lien car je suis sur mac, et je dois télécharger mozilla visiblement ...
Pour m'entraîner et surtout vérifier mes résultats j'ai calculer P(-2<X<0) et P(3<X<5)
j'ai additionné aux résultats demandé dans l'exercice et j'ai pu voir que le total faisait 1 soit l'aire sous la courbe sur l'intervalle -2 ; 10

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:28

c'est mieux sur firefox mais ça marche sur presque tous les navigateurs

ozpacker @ 02-11-2019 à 22:23

Pour m'entraîner et surtout vérifier mes résultats j'ai calculer P(-2<X<0) et P(3<X<5)
j'ai additionné aux résultats demandé dans l'exercice et j'ai pu voir que le total faisait 1 soit l'aire sous la courbe sur l'intervalle -2 ; 10

Excellent !

Posté par
ozpackerre : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:32

Merci pour l'aide une fois de plus ...
J'arrête pour ce soir, je posterai de nouveaux exercice demain ...

Merci à tous.

Posté par
alb12re : exercice fonction à densité 02-11-19 à 22:34

Bonne nuit


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !