Bonjour,

énoncé

1. On considère la fonction g définie sur par  g(x)=x³-4x²-x+2
1.1. Calculer g'(x) et en déduire le tableau de variations de g (on ne cherchera pas à calculer les valeurs des extremums de g).

1.2. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2].

1.3. En déduire le tableau de signes de g(x) sur l'intervalle [0 ; 2].
Pour la suite de l'exercice, on pourra utiliser la valeur approchée =0,64

2. On considère la fonction f définie sur par f(x)=(ax+b)e^-x[sup]2[/sup]et on note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
2.1.On sait que C_f coupe l'axe des ordonnées au point A(0 ; 4) et que sa tangente en A a pour coefficient directeur -1.
Démontrer que f(x)=(-x+4)e^-x[sup]2[/sup]

2.2.Pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 2] on défini les points suivants :
M le point de C_f de coordonnées (x ; f(x))
P le point de coordonnées (x ; 0)
Q le point de coordonnées (0 ; f(x))
On note A(x) l'aire du rectangle OPMQ.
La figure ci-contre sur laquelle une partie de la courbe C_fest représentée rappelle ces notations.

2.2.1. Exprimer A(x) en fonction de x.
2.2.2. Démontrer que A'(x) est du signe de g(x) et en déduire la valeur de x pour laquelle A(x) est maximale.
2.2.3. Démontrer que lorsque A(x) est maximale, la tangente à C_f en M est parallèle à la droite (QP)

3.On note S l'aire du domaine compris entre la courbe C_f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2.
3.1. Calculer I=²₀    -xe^-x[sup]2[/sup]
(on donnera la valeur exacte)

3.2. On donne J=²₀    e^-x[sup]2[/sup]0.882 . En déduire une valeur approchée à 10^-2 près de S.

3.3.Est-il possible de placer le point M pour que l'aire du rectangle OPMQ soit égale à la moitié de l'aire S?

Mes réponses :

1.1. g'(x)=3x²-8x-1
=76

x₁=(4-19)/3     x₂=(4+19)/3

"f est du signe de a à l 'extérieur des racines"

1.2. f est strictement décroissante et continue sur[0 ; 2] f(0)>0 et f(2)<0 donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires l'équation g(x) admet une seule solution sur l'intervalle [0 ; 2].

2.1. À x=0            e^-x[sup]2[/sup]=1
donc à x=0          f(x)=(ax+b)
donc à x=0          f(x)=ax+b
donc à x=0          f(x) est une fonction affine d'ordonnée à l'origine 4 où f coupe l'axe des ordonnées en y=4 donc b=4 et son coefficient directeur est -1 car sa tangente en A a pour coefficient directeur -1 donc a=-1     donc          f(x)=(-x+4)e^-x[sup]2[/sup]

2.2.1.A(x)=x*f(x)

2.2.2. Pour dire que A'(x) est du même signe que g(x) je dérive A(x) et je fais son signe ensuite je le compare à celui de g(x).

Déjà je dérive f'(x)

f'(x)=-e^-x[sup]2[/sup]+(-x+4)*(-2xe^-x[sup]2[/sup])
f'(x)=-e^-x[sup]2[/sup]+2x²e^-x[sup]2[/sup]-6xe^-x[sup]2[/sup]
f'(x)=e^-x[sup]2[/sup](2x²-6x-1)

A(x)=xf(x)

A'(x)=(-x+4)e^-x[sup]2[/sup]+xe^-x[sup]2[/sup](2x²-6x-1)
A'(x)=e^-x[sup]2[/sup][(-x+4)+x(2x²-6x-1)]
A'(x)=e^-x[sup]2[/sup](-x+4+2x²-6x²-x)
A'(x)=e^-x[sup]2[/sup](2x³-6x²-2x+4)

Je dois donc résoudre :

2x³-6x²-2x+4=0    et  e^-x[sup]2[/sup]

Je n'arrive pas à le faire j'ai donc besoin d'aide pour finir cette question.