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exercice fonction auxiliaire - { tangente et étude de fonction }
voila on a f(x) = (x +1) e^(-1/x)
C courbe représentative de f
a est un réel de ]o;+
[ et Ta tangente à C au point d'abscisse a.
a) équation de Ta
bon ça j'ai trouvé ça me donne (vérifier à la calculatrice)
Ta = [e^(-1/a)x (1 + 1/a + 1/a^2)] - [(1/a)e^(-1/a)]
b) vérifier que Ta coupe l'axe des abscisses au point d'abascisse a/(1 + a + a^2)
la je trouve pas
a)
f(x) = (x+1).e^(-1/x)
f '(x) = e^(-1/x) + ((x+1)/x²).e^(-1/x)
f '(x) = ((x²+x+1)/x²).e^(-1/x)
f(a) = (a+1).e^(-1/a)
f '(a) = ((a²+a+1)/a²).e^(-1/a)
T(a): y - (a+1).e^(-1/a) = (x - a).((a²+a+1)/a²).e^(-1/a)
T(a) = x.((a²+a+1)/a²).e^(-1/a) - [a.((a²+a+1)/a²)-a-1]e^(-1/a)
T(a) = x.((a²+a+1)/a²).e^(-1/a) - [((a²+a+1)/a)-a-1]e^(-1/a)
T(a) = x.((a²+a+1)/a²).e^(-1/a) - [((a²+a+1-a²-a)/a)]e^(-1/a)
T(a) = x.((a²+a+1)/a²).e^(-1/a) - (1/a).e^(-1/a)
(Equivalent à ta solution).
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b)
Coupe l'axe des abscisses pour :
x.((a²+a+1)/a²).e^(-1/a) - (1/a).e^(-1/a) = 0
comme e^(-1/a) est différent de 0 ->
x.((a²+a+1)/a²) - (1/a) = 0
x = (1/a)/((a²+a+1)/a²)
x = a/(a²+a+1)
-> Ta coupe l'axe des abscisses au point d'abascisse a/(1 + a + a²)
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Sauf distraction. 
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