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Exercice fonction exponentielle

Posté par
Jenny01
01-11-16 à 19:52

Bonsoir, j'ai un exercice qui me pose problème et je souhaiterai avoir un petit coup de main svp.
Le voici :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (x2 - 5/2x +1)ex.
Sa courbe représentative notée Cf est donnée ci-dessous.

1. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.

a) Calculer f'(x).
b) Etudier le signe de f'(x) selon les valeurs de x.
c)Dresser le tableau de variations de f.

2. Determiner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0. Tracer la droite T sur le graphique précédent.

3. Montrer que l'équation f(x)=40 admet une solution unique ? dans l'intervalle [2;3]. A l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10-2près de ?.

En vous remerciant d'avance.
Bonne soirée.

Exercice fonction exponentielle

malou > ***mets ton profil à jour stp***

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:16

Bonsoir,
1) Que trouves-tu pour f'
f(x)= (x2 - (5x/2)+1)ex.

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:25

Bonsoir, justement j'ai du mal dès la première question, > je pensais à f'(x) = (2x - 5/2)ex

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:28

c'est incomplet ...
formules utiles
(uv)'=u'v+uv'

(ex)'=ex

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:42

u(x) = xe - 5/2x +1             v(x)= ex
u'(x)= 2x - 5/2                                               v'(x)= ex

avant de vous donner l'application de la formule, est-ce juste ?

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:47

f(x)= (x2 - (5x/2)+1)ex

u(x)=x^2- 2,5x+1
 \\ 
 \\ v(x)=e^x

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 20:53

tes u' et v' sont exactes...

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:05

Ah ok : donc u'(x)= 2x - 2.5  et v'(x) = ex ?

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:06

Ah autant pour moi alors,

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:07

oui , maintenant calcule u'v+v'u  ,  puis factorise...

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:13

(uv')= 2x - 5/2 x ex + x2 - 2.5x + 1 x ex
        =  2x - 5/2 ex + x2 - 2.5 x + ex
        = -0.5 x - 5/2 ex + 1ex

est-ce juste?

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:21

u'v+uv'
tu as du remarquer v=v'=e^x
donc mais e^x en facteur
e^x(u'+u)=

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 01-11-16 à 21:22

donc mets e^x en facteur

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 12:38

Bonjour,  ex(u'+u)= ex(-0.5 x - 5/2)

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 13:13

non  
car u(x) = x2 - 2,5x +1            
u'(x)= 2x - 2,5    
f'(x)=(u(x)+u'(x))e^x

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 13:19

f'(x)= (x2 - 2.5 x + 1 + 2x - 2.5)ex
        = (x2-0.5x - 1.5)ex
         = ex(x2 - 0.5x - 1.5)

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 13:21

OK
il faut déterminer le signe de f'
signe de e^x
signe de x2 - 0.5x - 1.5
et conclure signe du produit

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 14:06

Le signe :   = 6.25  -> 6.25 = 2.5

x1 =-1  et x2= 1.5

ex = 1

x     :     -                                         -1      1      1.5    +
f'(x):                          +                     0        -        0        +
ex:                             +                    0       -         0       +
f(x):                          +                               +                   +  

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 14:27


remarque  e^x >0 sur R  ( supprime les 0)
donc f' est du signe de   x2-0,5x-5:
   ensuite indique les variations de f avec des flèches.
f est croissante sur ]-∞;-1]
f est ..................sur [-1;0,5]
fest .................sur [0,5,+∞[

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 14:51

f est  décroissante sur [-1;0,5]
fest croissante sur [0,5,+∞[

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 14:59

OK
2. Determiner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0. Tracer la droite T sur le graphique précédent.
équation de la tangente
y=f'(a)(x-a)-f(a)
ici a=0

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 15:01

f'(a)= -1.5
f(a)= 1ex

y= 1.5(x - 0) + 1ex
= 1.5x + 1ex

T : y = 1.5x + 1ex

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 15:23

attention  tu as tout mélangé...
dès le début remplace  les a  de la formule  par des 0

sachant que
f(x)=ex(x2-2,5x+1)
f(0)=e0(02-2,5*0+1)=1*1=1
f'(x)=ex(x^2-0,5x-1,5)
f'(0)=e0(0^2-0,5*0-1,5)=-1,5
d'où une équation de la tangente  au point (0;1)
y=-1,5x+1

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 15:27

aperçu courbe et sa tangente

Exercice fonction exponentielle

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 19:31

Ah oui effectivement, je n'avais pas remplacé du tout les ex.

Pour la dernière question : A la calculatrice : f(1.99) = -0.109
                                                                                                    f(2)= 0

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 19:37

Mais pour la question "Montrer que l'équation f(x)=40 admet une solution unique ? dans l'intervalle [2;3]", je dois faire un tableau de variation sur l'intervalle [2;3] ?

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 20:33

tu as montré que f est croissante sur [1,5;+∞[
f est croissante sur [2,3],
f(2)=......
f(3)=.......
d'après le TVI    il existe  c tel que  f(c)=40
f(2)  <f(c)<f(3)
avec geogebra c=2,907... soit 2,91 valeur arrondie à 10-2

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 20:39

f(2)=0
f(3)=50,2...

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 20:39

Donc f(2) vaut environ 11
et f(3) vaut environ 120

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 20:41

Aa attendez je me suis trompée, j'ai pris la mauvaise formule

Posté par
Jenny01
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 21:05

J'ai fini, je vous dit un grand merci et vous souhaite une agréable soirée.
Au revoir.

Posté par
Labo
re : Exercice fonction exponentielle 02-11-16 à 21:12

  Merci  pour ce message , et bon retour au lycée .



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