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exercice fonction exponentielle bis

Posté par
ozpacker 08-10-19 à 08:33

Bonjour,

En parallèle de l'autre sujet qui est bientôt terminé ... je l'espère,
voici un nouveau problème, comme pour le précédent je vais poster l'énoncé et par la suite mes réponses.
Merci d'avance,

On donne la courbe Cf d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle (0 ; 5 ) dans un repère orthogonal.

On admet que la fonction F définie et dérivable sur ( 0 ; 5 ) par :

F(x) = - (4x^2-4x+5)e^\left\{-x \right\}

est primitive de f sur ( 0 ; 5 ).

1) Donner l'expression de f(x)
2) En déduire les variations de F sur ( 0 ; 5 )
3) Calculer, en unités d'aire, l'aire exacte du domaine situé entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=5
4)
a- Justifier qu'il existe une unique solution \alpha appartenant à ( 0 ; 5 ) telle que F(\alpha) = -1

b- A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de \alpha à 10^-2 près.

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 09:02

bonjour

je vais poster l'énoncé et par la suite mes réponses.

tu en es où ?

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 09:08

il finit un autre exo là !

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 09:09

oui j'étais justement en train de regarder !
je coupe et reviendrai plus tard

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 09:57

alors pour la première question j'en déduis qu'il faut dériver F(x) et je trouverai ainsi f(x)

donc :

ici j'ai décidé d'utiliser la formule (uv)' = u'v + uv'

u = 4x^2 -4x + 5
u'= 8x -4
v = e^-x
v'= -e^-x

je trouve donc f(x) = (8x-4)e^-x + (4x^2 -4x +5)-e^-x

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:11

F(x) = - (4x^2-4x+5)e^\left\{-x \right\}

j'ai décidé d'utiliser la formule (uv)' = u'v + uv'   ---- oui, dérivée d'un produit

u = 4x^2 -4x + 5
u'= 8x -4     oui
v = e^(-x)
v'= -e^(-x)    oui

mais attention, il y a un "-" dans l'expression de F(x)
on ne le voit plus ensuite ?


je trouve donc f(x) = (8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(-e^(-x) )  
reprends
n'oublie pas les ( )

Posté par
pzorba75re : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:14

f(x) telle que tu l'as écrite est incorrecte, il manque des parenthèses pour v'(x) et il faut simplifier pour obtenir une forme de f permettant de répondre à la question 2.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:30

très bien, donc :

-(8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(-e^(-x) )

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:36

nan

le - est devant le produit, dans l'expression F(x)

ainsi, on doit retrouver ce "-" en facteur devant toute l'expression de la dérivée que tu avais écrite.

pourquoi ?

F(x) = - (4x^2-4x+5)e^\left\{-x \right\}

F(x) = (-1) *  (4x^2-4x+5)e^\left\{-x \right\}

et d'après le cours ( u) ' = u'

donc
F '(x) = -   [   (8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(-e^(-x) )    ]

d'accord?

ensuite, simplifie entre les crochets
tu vas pouvoir factoriser...

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:44

oui je vois pour l'histoire du signe - , je vais attention à cela pour les prochain exercices, par contre pour la factorisation je ne vois pas ...

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:50

F '(x) = -   [   (8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(-e^(-x) )    ]

commence à simplifier les signes, autant que possible (attention...)
puis, je t'ai mis en bleu le facteur commun

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:54

F '(x) = -   [   (4x^2+4x+1)( e^(-x) ]

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:56

non
montre le détail de ton calcul, je pourrais mieux t'aider

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 10:58

F '(x) = -   [   (8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(  -e^(-x) )    ]

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:00

je ne vois pas .. il y a peut être une formule à appliquer ou autre ... ?

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:05

non,  juste la règle des signes

F '(x) = -   [   (8x-4)e^(-x) + (4x^2 -4x +5)(  -e^(-x) )    ]

commence par arranger le signe de     + (4x^2 -4x +5)(  -e^(-x)) = ??  (4x^2 -4x +5)*e^(-x)

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:10

Désolé je ne vois pas, je n'ai pas encore cette logique je pense, je vais y travailler avec des exercices peut être un peu plus simple.
Du coup cela me bloque pour la 1) et 2)

Logiquement je peux quand même faire le reste ?

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:11

je prends ce terme :            + (4x^2 -4x +5)(  -e^(-x))

tu as une forme   +A * (-B) = .... signe?    A*B

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:14

negatif

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:14

j'ai un imprévu, je dois filer, désolée, je laisse la main.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:17

ok merci pour tout déjà !

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 11:36

ozpacker @ 08-10-2019 à 11:14

negatif

OK

donc
écris (4x^2 -4x +5)( -e^(-x)) = - (4x^2 -4x +5)\times e^{-x}= (-4x^2 +4x -5)\times e^{-x}
quant à faire....

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:39

si je continu je trouve ceci :

-(-4x^2+12x-9)e^(-x)

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:43

je poursuis en l'absence de Malou

oui,
mais distribue le signe - à l'intérieur des ( )

puis observe ce qu'il y a dans ces ( ) ... ça ne t'évoque rien ?

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:43

je peux même dire :

F'(x) = (4x^2 -12x +9)(e(-x))

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:44

voilà !

et     4x^2 -12x +9 = ....?

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:45

donc f(x) pour la réponse 1)

l'expression de f(x) est (4x^2 -12x +9)(e(-x))

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:45

factorise ton 4x^2 -12x +9

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:52

(-2x +3)(2x -3)e(-x)

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 12:59

non, mais tu pouvais vérifier ton résultat :
développe et réduis (-2x +3)(2x -3), tu ne trouveras pas 4x² -12x +9

4x^2 -12x +9 = (2x)² - 2*2*3 + 3² = (2x-3)²


F'(x) =  (2x-3)²  e-x

... signe de F'(x) ?

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:05

oui c'est bon jai refais et je trouve ca également merci.

Donc ensuite question 2)

F'(x) est POSITIF sur -infini ; +infini

donc pour les variations de F(x) c'est croissant

Posté par
caritare : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:18

oui
SAUF que les bornes de DF c'est pas les infinis.

fais ton tableau de variation.

3) c'est du cours.

je m'absente
a+

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:24

Voici pour le tableau de variation

\begin{array} {|c|cccc|} x & 0 & & 5 & \\ {signe} & & + & & \\ {variation} & & \nearrow & & \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:27

que de progrès, et sur le contenu et sur l'utilisation du site !

tu dois compléter ton tableau avec F(0) et F(5)

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:28

Ensuite pour la question 3, je suis o c'est du cours mais j'ai quand même un soucis, je m'explique.

Lorsque je trace sur ma calculatrice ma courbe Cf (pour F'(x)) celle ci est bien conforme a celle qui est sur mon énoncé et est bien au dessus de l'axe des abscisses.
Par contre pour F(x) la courbe est en dessous des abscisses, or je veux calculer l'intégrale dans la question 3, donc l'aire qu'il y a au dessus de l'axe des abscisses, en dessous de la courbe et entre les droites d'équations x=0 et x=5

Or pour cela on utilise la primitive donc la courbe qui est en dessous de l'axe des abscisses ...

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 13:38

regarde le cours d'intégration que je t'ai fléché sur l'autre sujet
c'est très bien expliqué
une fois que ton tableau de variations est complété avec F(0 et F(5), tu peux dire que ta courbe est toujours sous l'axe des abscisses et donc que l'aire est égale à ....

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:03

F(0) = -5
F(5) = -0,572

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:09

oui, donc ta fonction ne prend que des valeurs négatives sur [-5 ; 0]

et donc A={\red{-}}\int_{-5}^0 f(x) \text{d}x unité d'aire

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:11

Du coup pour l'intervalle, je trouve 4,428 UA

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:31

\int_{0}^{5}{f(x) dx} = F(5) - F(0)

= (-0,572) - (-5)
=4,428 UA

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:36

je vois que tu as rectifié ma bêtise
je me suis emmêlée dans les bornes !

ça doit être ça !

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:37

carita, tu peux reprendre la main sans problème quand tu es là.....

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:39

Parfait si c'est cela car c'est vrai que je trouvai bizarre votre intégrale.
Bon il me reste la dernière question :
4)
a- Justifier qu'il existe une unique solution  appartenant à ( 0 ; 5 ) telle que F(alpha) = -1

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:41

Citation :
je trouvai bizarre votre intégrale.

t'as raison, c'était faux !! mais suis en vacances et je n'écris rien....je fais tout à l'écran

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:43

je ne me permettrai pas de toute manière de critiquer !
depuis que je suis sur ce forum je progresse beaucoup

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:45

Pour la 4)

faut-il faire Fx) = -1 ?

Soit : -(4x^2-4x+5)e(-x) = -1

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 14:47

euh pas vraiment
là, c'est le théorème des valeurs intermédiaires que tu dois utiliser

Posté par
ozpackerre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 15:08

Je comprend pas trop... Car quand je regarde la courbe en -1 il ne se passe en rien en plus ...

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 15:11

en gros
tu passes de -5 à -0,572
ben y a bien un moment où tu passes à -1, oui ?

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction exponentielle bis 08-10-19 à 15:16

théorème des valeurs intermédiaires ici : Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

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