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exercice fonction logarithme

Posté par
ozpacker 10-10-19 à 09:05

Bonjour,

Voici un nouveau sujet pour terminer ma semaine riche en exercice, je vais faire une pause après celui-la reprendre tous les points ou cela à coincer et ensuite je continuerai.

Merci d'avance pour votre aide.

Sujet :

f et définie sur l'intervalle I = (0,5 ; 20) par f(x) = \frac{ln(x)}{\sqrt{x}}

1) Montrer que f est dérivable sur I. Montrer que f'(x) = \frac{2-ln(x)}{2x\sqrt{x}}

2) Résoudre l'inéquation 2- ln(x) >= 0 dans I

3) Grâce à 1) et 2), dresser le tableau de variations de f sur I
      Dresser le tableau de signes de f sur I

4) Montrer que l'equation f(x)=0,7 possède exactement deux solutions. On les note alpha et beta avec "alpha"<"beta"

On nous apprend qu'une usine fabrique et commercialise des pièces pour le domaine automobile. Le bénnéfice, exprimé en dizaines de milliers deuros, obtenu pour la production et la vente de x centaines de ces pièces est donné par f(x) ci dessus. Grâce aux résultats de la partie précédente répondre à ces questions :

5) a partir de combien de pièces produites et vendues l'entreprise n'est-elle pas déficitaire ?

6) pour quel nombre de pièces, à l'unité près, le bénéfice est-il maximal ? quel est alors son montant, à une centaine d'euros près ?

7) pour quel intervalle de pièces (bornes donnée à l'unité près) l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice d'au moins 7000euro ??

FIN

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 09:10

Correction question 1)
On admet que f est dérivable sur I, Montrer que f'(x) = ...

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 09:15

Bonjour comme je suis en vacances et que la tempête sévit...
ok, j' attends tes premières recherches

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 09:34

Afin de trouver la dérivée, doit-on utiliser la formule  "u/v" = u'v - uv' / v^2 ?

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 09:41

oui, avec des parenthèses !!

(u/v)' = (u'v - uv' )/ v^2

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 09:56

f'(x) = \frac{(\frac{1}{x})(\sqrt{x})-(ln(x))(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x})^2}

je suis bloqué pour "simplifier"

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:01

multiplie haut et bas par 2x

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:25

On ne doit pas simplifier avant ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:39

Ben ici c'est plus simple de simplifier après.
mais tu peux aussi mettre les deux termes du numérateur au même dénominateur, tu vas arriver à la même chose.

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:40

non pas obligatoirement, et avec que te propose Glapion, le dénominateur va apparaître tout de suite, donc cela sera certainement très rapide

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:43

Je pense que je ne maîtrise pas encore les propriétés algébriques pour réaliser ce calcul. Je devrais refaire des exercices et exemples

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:46

Pourtant il est vraiment très simple ce calcul ! tu as vraiment essayé ?
pratiquement, si tu sais que ( x)² = x tu tombes très vite sur le résultat demandé.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:48

Oui je cherche toujours avant de demander de l'aide.

Pour le dénominateur pas de problème ça j'avais trouvé. C'est surtout pour le numérateur

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 10:52

Alors si tu multiplies le numérateur par 2x, ça donne quoi ?

Que vaut [(x)/x ]* 2x ?
Que vaut - ( ln(x)/ 2x ) * 2x ?

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 11:16

Le premier j'ai un doute ...pour le deuxième cela fait - (ln(x))

Par deduction le 1er fait 2 mais ça ne me dit pas le raisonnement que je n'ai pas y trouver !

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 11:18

\dfrac{\sqrt x}{x}\times 2\sqrt x =\dfrac {2\sqrt x\sqrt x}{x}= \dots

Glapion (à savoir) ozpacker est en reprise d'études et a oublié beaucoup de choses, même du collège mais depuis plusieurs jours il y travaille...

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 12:44

je sais que \sqrt{x} \times \sqrt{x}}} = \sqrt{x\times x} soit \sqrt{x^2}

mais apres ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:04

relis mon post de 10:46

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:10

c'est égale a "x" mais dans ce cas la je me retrouve avec x/x et ca ne fais pas 2

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:25

t'en as fait quoi du 2 qui est devant ?

malou @ 10-10-2019 à 11:18

\dfrac{\sqrt x}{x}\times 2\sqrt x =\dfrac {2\sqrt x\sqrt x}{x}= \dots

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:30

en effet je l'ai oublié du coup je tombe sur 2x/x

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:30

oui donc 2 ...

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:33

ben oui....

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:37

pour la 2)
Résoudre l'inéquation 2- ln(x) >= 0 dans I

pour le moment j'ai pensé à cela :

2 >= ln(x)
ln(e^2) >= ln(x)

e^2 >= x

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:38

parfait

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:42

on ne peut pas plus simplifier on est d'accord ?

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:44

on est d'accord
c'est la valeur que tu devras mettre dans ton tableau : e²

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:50

pour la question 3) j'ai fais cela :

\begin{array} {|c|cccc|} x & 0,5 & & 20 & \\ {signe de f'(x)} & & + & & \\ {variation f(x)} & & \nearrow & & \end{array}


f(x) est croissant sur l'intervalle (0,5 ; 20)

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 13:53

pour le tableau de signe de f(x) :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0,5 & & e^2 & & 20 & \\ {signe} & & - & 0 & + & & \\ {} & & & & & & \end{array}

Posté par
Glapion Moderateurre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 14:18

Tu as voulu dire le tableau de signes de f'(x) sans doute ?

non quand tu as étudié 2 - ln(x) >0 tu as trouvé x < e² donc entre 1/2 et e² la dérivée est positive et après e² elle est négative. Tes signes sont donc faux dans ton tableau.

Et puis on te demande les variations de f donc il faut mettre aussi une ligne f(x) dans ton tableau.

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 14:41

reprenons,

pour dresser le tableau de variation de f sur I on a ceci :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0,5 & & e^2 & & 20 & \\ {signe de f'(x)} & & + & 0 & - & & \\ {variation de f} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 14:55

OK, là c'est bon
complète le tableau avec les images aux bornes (au moins en valeurs approchées) et en e² (valeur exacte)

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:02

donc :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0,5 & & e^2 & & 20 & \\ {signe} & & + & 0& - & & \\ {variation} & -0,98\nearrow & &&& \searrow 0,67 & & \end{array}

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:03

par contre pour la deuxième partie de
      "Dresser le tableau de signes de f sur I "

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:08

valeur exact en e^2 : \frac{ln(e^{}2)}{\sqrt{(e^2)}}

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:19

pour "dresser le tableau de signes de f sur I" j'ai pensé à cela :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0,5 & & 1 & & 20 & \\ {signe} & & - & 0 & + & & \\ {& & \end{array}

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:20

simplifie cette valeur !
pour le signe on voit après

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:27

je ne vois pas trop comment simplifier cela, je pensais que c'était reduis au max

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:30

rho...
tu devrais travailler les propriétés des log et des exponentielles, tu n'as pas encore les réflexes

\ln (e^2)= 2 \ln (e)= 2\times 1 = 2

\sqrt{e^2} = e

ça c'est notion collège

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:34

oui je sais.
Apres cet exercice je me perfectionne sur des calcule de ce type tout ce weekend avant d'aller plus loin

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:35

donc 2/e car e= environ 2,718

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:36

par contre pourquoi ils disent de "justifier" à l'aide de a et b

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:38

donc je complète et tu en es là

ozpacker @ 10-10-2019 à 15:02

donc :

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0,5 & & e^2 & & 20 & \\ {signe} & & + & 0& - & & \\ {variation} & -0,98\nearrow & &^{2/e}&& \searrow 0,67 & & \end{array}


signe de f(x) 15h19 c'est OK

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:39

ozpacker @ 10-10-2019 à 15:36

par contre pourquoi ils disent de "justifier" à l'aide de a et b

ben 1) t'a donné la dérivée
2) t'a donné le signe de la dérivée
c'est ça qui te permet de construire ton tableau de variations

Posté par
ozpackerre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:43

ok, pour la 4 je n'ai pas trouvé,

par contre la 5 j'ai pensé à cela :

ln(x)>= 0
ln(x)>= e^0
e^x >= e^0
x >= 1

donc à partir de 100 pièces fabriqués et vendues l'entreprise n'est pas déficitaire

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:47

4) c'est le théorème des valeurs intermédiaires qu'on a vu hier sur un autre exo

ozpacker @ 10-10-2019 à 15:43



par contre la 5 j'ai pensé à cela :

ln(x)>= 0
ln(x)>= e^0
e^x >= e^0
x >= 1 oui

donc à partir de 100 pièces fabriqués et vendues l'entreprise n'est pas déficitaire


résultat exact mais des intermédiaires faux

Posté par
malou Webmasterre : exercice fonction logarithme 10-10-19 à 15:48

je vais quitter un peu

6) facile
lecture du tableau

7) utiliser la question que tu n'as pas encore faite f(x)=0,7


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