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Exercice Fonction logarithme népérien

Posté par
dodo200000 31-01-18 à 15:17

Bonjour
J'ai un exercice a faire qui est :
Une population de bactéries diminue de 5% par heure. Au bout de combien d'heures la population sera t-elle inférieure ou égale à la moitié de la population

J'ai bien une idée de la valeur de ces données qui seraient selon moi ça :
Pop de bactéries :x
Baisse de 5%par heure : 0.95
Moitié de la pop : x/2
Mais je ne sais pas du tout comment je pourrais résoudre cette inéquation .... Si quelqu'un pourrait m'aider sa serait vraiment cool merci.

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:21

Bonjour

u_0\quad u_n=u_0\times (0,95)^n

à résoudre   u_0\times (0,95)^n<\dfrac{u_0}{2}

ou (0,95)^n<\dfrac{1}{2}

pourquoi le titre de votre sujet ?

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:24

Merci
J'ai mis ce titre car l'exercice ce trouve un plein milieu des autres exercice de mon manuel sur la fonction logarithme népérien et je suis en plein milieu du chapitre en cours mais je n'arrivais pas a cette exercice

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:27

prenez le logarithme népérien des deux membres

0<a<b \iff \ln a<\ln b

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:28

C'est-à-dire ? Désolée je n'ai pas compris

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:37

qu'est ce que vous ne comprenez pas ?

si vous avez \sqrt{a} <b en prenant le carré des deux  membres vous obtenez a<b^2

ici il ne s'agit pas de prendre le carré mais le logarithme népérien

\ln (0,95)^n<\ln\frac{1}{2}  on applique les propriétés de \ln

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:40

A oui d'accord merci beaucoup 😁
Donc après il suffit de résoudre l'inéquation normalement ? Merci beaucoup je n'était pas sur des valeurs que devait prendre a et b je pensais qu'il fallait mettre x mais en fait non merci beaucoup de m'avoir aidée et répondu

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:44

n'oubliez pas de renverser le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif
que trouvez-vous ?
de rien

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:51

et bien en faisant le calcul je me retrouve bloqué au tout début j'ai compris mais pourtant je reste bloqué je crois que j'ai mal compris en fait.

lorsque je calcul sa me fait : 0.95n < 1/2 mais je ne trouve pas comment calculer la suite

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 15:52

le nombre "n" est-il comme "x" ?

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:00

ici l'inconnue est n

\ln (0,95)^n=n ^ln 0,95

on a à résoudre n \ln(0,95)<-\ln 2

d'où   n>\dfrac{-\ln 2}{\ln 0,95}

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:05

mais pourquoi -Ln2 ? je suis vraiment désolée mais je ne comprends vraiment pas

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:07

est-ce que -Ln2 est l'inverse de Ln1/2 ?

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:11

\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b

donc \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln 1-\ln 2=-\ln2

ce n'est pas l'inverse  c'est une autre écriture

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:15

ah oui c'est vrai désolée je ne suis pas vraiment douée avec les logarithmes. D'accord bah là du coup j'ai compris merci beaucoup de prendre le temps de m'expliquer.  
Donc pour le résultat il suffit que je mette un résultat approché de n ?

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:21

mais du coup pourquoi faut-il changer le sens de l'inéquation puisque on divise par 0.95 qui est un nombre positif et non négatif

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:26

0.95 >0 d'accord mais  0,95<1 donc \ln 0,95 <\ln 1 or \ln 1=0

par conséquent \ln 0,95 <0 et on divisant par \ln 0,95 on divise par un nombre négatif donc on change le sens de l'inégalité

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:27

pour répondre à 16 :15  vous donnez la valeur exacte puis une valeur approchée

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:28

ah d'accord il faut que je me le note pour m'en rappeler alors sinon je risque de faire encore des erreurs merci beaucoup pour le temps que vous m'avez accordé pour m'aider

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:28

d'accord c'est ce que je vais faire alors

Posté par
heklare : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:33

n\geqslant 14 ( nombre entier)

vérification (0,95)^{14}\approx 0,487675(<0,5)

de rien

Posté par
dodo200000re : Exercice Fonction logarithme népérien 31-01-18 à 16:36

Encore merci beaucoup vous m'avez énormément aider :D


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