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Exercice forme exponentielle, imaginaire pur

Posté par
Sanguisorbe 18-10-09 à 19:45

Bonjour,

Voici mon problème :
z = (1-exp(i) / (1+exp(i)
1) Montrer que z est un imaginaire pur.
2) Exprimer z en fonction de /2

Je bloque dès la question 1. Je n'arrive pas à me débarrasser du exp(i) du dénominateur. Et pas de grande réussite en passant sous forme trigo. J'ai remplacé le 1 par sin²+cos² et mis en facteur, mais après, je me retrouve avec des formes du style (cos-1) que je ne sais pas plus transformer.

Des idées ?
Merci d'avance de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 18-10-09 à 20:22

Bonjour,

z=\frac{(1-e^{i\theta})(1+e^{-i\theta})}{(1+e^{i\theta})(1+e^{-i\theta})}

z=\frac{e^{-i\theta}-e^{i\theta}}{2+e^{i\theta}+e^{-i\theta}}

z=\frac{-2i\sin\,\theta}{2(1+\cos\,\theta )}

z=-\frac{\sin\,\theta}{1+\cos\,\theta}i

Puis avec les formules de trigonométrie:

z=-\frac{2\,\sin\,\frac{\theta}{2}\,\cos\,\frac{\theta}{2}}{2\,\cos^2\frac{\theta}{2}}i

z=-i\tan\,\frac{\theta}{2}

Posté par
karoum02re : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 18-10-09 à 20:37

Salut ,
Bah moi je te proposerai ça ...

z=(1-exp(i) / (1+exp(i)
z= 1 -(cos+isin) / 1 + cos + isin
<=> z = 1 - cos - isin / 1+cos+isin
<=> z = (1-cos ) - isin )*(1+cos-isin) / (1+cos) +isin * (1+cos-isin)

tu multiplies par le conjugué du dénominateur en haut et en bas.

<=> z = ((1-isin)-cos)((1-isin)+cos) / ( 1+cos)² - ( isin )²
(tu utilises  en haut et en bas le a²-b²=(a+b)(a-b)!)

<=> (1-isin)² -cos² / (1+cos)² + sin²
Tu développes...

<=> 1 - 2isin -sin² - cos² / 1 + 2cos + cos² +1

<=> 1 - 2isin - (sin²+cos²) / 2+2cos
Tu utilises en haut et en bas que cos² + sin ² = 1!
en haut t'a 1-1+2isin

et en bas 2(1+cos )
donc t'obtiens  i * 2sin/ 2 (1+cos)
Tu divises par 2 il te reste i * un réel , donc ton quotient de départ est bien un imaginaire pur

Ps: Il doit y avoir plu simple à mon avis , en espérant ne pas m'être trompé

Posté par
karoum02re : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 18-10-09 à 20:38

C'est bien ce que je pensais

Posté par
lafol Moderateurre : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 18-10-09 à 20:44

bonsoir
pour la deuxième question, tu peux aussi multiplier haut et bas de la fraction de départ par exp(_i theta/2)

Posté par
HarNox98re : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 19-04-21 à 01:37

Bonsoir, lafol, pourrais-tu s'il te plaît détailler ton raisonnement ?

Posté par
Priamre : Exercice forme exponentielle, imaginaire pur 19-04-21 à 09:40

Bonjour,
As-tu essayé de faire ce que  lafol  proposait ? (il s'agit de  e-i/2)


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