Bonjour,
"car j'essaie différentes possibilités"
lesquelles ?
on ne peut pas savoir si tes pistes sont les bonnes et qu'il manque juste un coup de pouce pour les redre "mathématiquement correctes" ou si ce sont de fausses pistes !!

Bonjour,

Une piste possible :
-> Trouver l'équation de la médiatrice de [AB] : le centre du cercle doit appartenir à cette médiatrice
-> Noter C le point de contact du cercle et de la droite d, d'équation y=-3x
-> Noter D le centre du cercle cherché (sur la médiatrice de [AB])
-> Le point C doit vérifier 2 conditions :
        => DC² = DA²
        =>

On obtient 2 solutions simples et il est facile de voir laquelle correspond au plus grand cercle.

illustration de ce que dit patrice rabiller



mais il aurait été bien que adri255 dise ce qu'il avait commencé de faire !!
(la même idée ? une autre ? une mauvaise interprétation de l'énoncé ? ou quoi ?)

Bonjour,

Calculer comme le propose patrice rabiller, oui mais
Si l'on s'intéresse au point B plus qu'au point A, (et au triangle BAH' sur la figure de mathafou)
la solution est  immédiate, au vu des données de l'énoncé,

??
on ne sait rien de H' ni du triangle BAH' ni que par miracle BH' serait ou pas un diamètre du petit cercle etc...
le rôle des deux cercles est totalement interchangeable.

en tout cas "géométrie analytique" cela entraine les équations citées
qui ne sont que du second degré.

(et il y a aussi une construction "simple" et connue, à la règle et au compas, mais ceci est une toute autre histoire... : "les 10 problèmes d'Apollonius")

Bonjour,

On sait bien des choses au vu  les coordonnées citées !

alors j'ai essayé en faisant un système d'équations à 3 inconnues car premièrement je sais que mon cercle passe par (1 ; -1 ) et (3; 1).

Deuxièmement, je sais que mon cercle passe par la tangente y=-3x

voici les 3 équations

(1-a)²+(-1-b)²=R²
(3-a)² + (1-b)²= R²

et finalement -> (x-a)²+ (-3x-b)² =R²

Attention pour cette équation, je devrai mettre un delta = 0 puisque la tangente ne touche qu'une seule fois mon cercle ("but d'une tangente vous me diriez")
je ne sais pas si ce résonnement est correct ? si il est bon, j'ai sûrement fait une erreur de calcul !

Ta troisième équation me paraît douteuse.
C'est la distance du centre du cercle à la droite qui doit être égale à R .

Bonjour
elle se tient, sa troisième équation : elle donnera l'abscisse x d'un point de la tangente qui sera aussi sur le cercle, une fois écrit, comme il l'a précisé, que cette équation ne doit avoir qu'une unique solution, pour que la tangente ne coupe qu'une fois le cercle.
(a,b) dans ses équations représente le couple de coordonnées du centre du cercle

en fait sa troisième équation serait plutôt "delta =0" avec delta le discriminant de (x-a)²+ (-3x-b)² =R²
ça lui donnera trois équations en a,b,R

Pour être sur, pourrai- jendans ma 3ieme équation, remplacer r^2 par l'une des 2 premières et au préalable établir une relation entre a et b pour avoir soit du a soit du b dans cette 3ieme équation pour ensuite établir un delta=0 ?

adri255 :
on peut parfaitement établir une relation entre a et b indépendante de r :
c'est l'équation de la médiatrice de AB

et c'est à partir des deux premières :
(1-a)²+(-1-b)² = (3-a)² + (1-b)²
==> relation du premier degré entre a et b après développement et simplification

Bonne nuit,

On cherche un cercle tangent à la droite (d) 3x+y=0 et qui passe par A(1;-1) et par B(3;1) : Si vous ne voyez pas que le cercle de diamètre [OB] convient, c'est que vous avez volontairement masqué les axes du repère de coordonnées.
Vous pouvez voir que la droite (AB) intersecte la droite (d) en C et que le point de contact T du deuxième cercle est tel que C est le milieu de [OT], car (OT) est tangente commune aux deux cercles. d'où immédiatement le centre du deuxième cercle sur la droite y=2-x médiatrice de [AB]
Les calculs analytiques sont des plus simples ( intersections de droites ), à moins que ce soit pour le plaisir de faire compliqué... : distance d'un point à une droite et êquation de degré 2

on peut parfaitement conjecturer la solution (tu ne fais que répéter encore et encore de ces conjectures)
et alors vérifier que cette solution convient est effectivement très simple ...

Bonjour,

une résolution un peu différente:



centre(a,b)     médiatrice de [AB] d'équation

donc

= distance du centre à la droite d'équation

ensuite écrire que le cercle passe par A(ou B)

d'où 2 valeurs de a ( et de b ) correspondant aux 2 cercles

....

c'est en fait toujours la même présentée différemment (mêmes équations au final)

salut

la distance d'un point à une droite ou à un plan n'est pas au programme du lycée ...

cela ne veut pas dire que certains exercices ne le demandent pas dans des cas particuliers ...

c'est un exercice de niveau de première ... fort probablement du cours produit scalaire et équation de cercle ...

merci monsieur le professeur

de rien

je viens de rajouter une phrase en haut de la page des fiches, je la mettrai aux autres niveaux également...
"Tous ces contenus ne sont pas nécessairement enseignés, mais sont abordables par un élève de première."
Je le dis souvent dans des topics, un livre, ou un site n'est pas une référence de programme...la seule référence, c'est le programme officiel

je résumerai par une phrase :

ce n'est pas parce qu'on en sait plus qu'on doit oublier qu'on en sait moins ...

et que parfois c'est très suffisant ... même si peut-être plus fastidieux ...


de toute façon : connaitre la distance d'un point à une droite/plan est-ce réciter et appliquer bêtement une formule ou savoir ce que ça signifie ?

Bonsoir,

Le savoir vient beaucoup et surtout des exercices, au-delà du cours.
Quelle erreur de vouloir limiter les méthodes et les connaissances à ce qui est seulement vu en classe..."au Programme"....
Qu'il faille peiner sur un développement analytique au moins une fois, certes. Mais faire fi d'une vraie démonstration, belle et simple, parce qu'elle s'écarte du comportement fixé est une aberration....

d'un autre côté si le but est d'entraîner l'élève à utiliser des équations, lui donner une solution non analytique ne l'avancera pas beaucoup ....

parmi les solutions analytiques :

conjecturer la solution (par une boule de cristal ou par l'intuition ou par essais avec un logiciel de géométrie)
puis démontrer (analytiquement, coordonnées, équations de droite, intersections etc) que cette solution est valide
est parfaitement admissible
à condition d'appeler un chat un chat et de bien présenter la démarche avec une honnête rigueur
(sans prendre ses hypothèses pour des réalités ni en omettant des preuves)

Bonsoir,

--> adri255 : finalement, quel est le développement de vos calculs ? quel résultat ?
Avez-vous besoin de plus d'aide ? d'information sur des notions évoquées ?

Bonjour,

On ne sait donc pas si adri255 a réussi avec le "delta=0" ou via b=2-a (Pirho  21-06-18 à 07:10)
à trouver l'équation 2a²-11a+12=0 qui donne l'abscisse des centres des cercles cherchés.

--> mathafou : quand j'ai écrit

si, c'est une conjecture (il faut avoir effectivement tracé - comment, pourquoi ? - un tel cercle pour le voir, ou en avoir l'idée que un tel cercle pourrait peut être convenir)
et elle se démontre effectivement analytiquement (pas difficile) etc
je n'ai rien contre ta méthode comme j'ai dit
c'est sa présentation qui me chiffonne
et c'est pour çà que j'avais effacé mon repère, pour ne pas suggérer des choses
parce que mes cercles solutions tout tracés, pour l'instant on ne sait pas comment on les obtient !!!
donc imaginer que l'un d'eux passerait par O est bien de la "divination". (de l'intuition, des essais et observations, appelles ça comme tu veux)
ce qui s'appelle bien une conjecture / hypothèse
et que l'on démontre (ensuite) facilement, on est tout à fait d'accord.

PS :

delta = 0 et b=2-a
delta = 0 seul n'aboutit à rien du tout à part une relation assez compliquée entre a, b et R

adri255 en était parfaitement conscient quand il a écrit :

mathafou @ 20-06-2018 à 23:50

adri255 :
on peut parfaitement établir une relation entre a et b indépendante de r :
c'est l'équation de la médiatrice de AB

et c'est à partir des deux premières :
(1-a)²+(-1-b)² = (3-a)² + (1-b)²
relation du premier degré entre a et b après développement et simplification

Bonsoir,

Qui n'a pas vu que les données numériques de ce problème de préparation à un concours étaient arrangées pour tester quelle méthode irait le plus simplement à la solution ?
Mais mathafou va dire que ceci est une conjecture...

Qui n'a pas vu
moi par exemple
j'ai d'abord construit les cercles, de façon purement géométrique, et ensuite j'ai observé que etc...

Bonjour,

--> mathafou : Ce qui a d'emblée retenu mon attention sans même avoir regardé votre dessin,
c'est que les coordonnées de B(3;1) mettaient [OB] orthogonal à (d) d'équation y=-3x.
j'ai donc vu alors (toujours analytiquement d'après le titre) que [OA] était aussi orthogonal à [AB] et j'en ai déduit que le premier cercle était de diamètre [OB]
Et en regardant votre dessin j'ai trouvé dommage que (AB) ne vienne pas couper (d), etc.
Voilà pourquoi j'ai réagi un peu vivement à votre commentaire du 20-06-18 à 16:55 car une construction géométrique m'est aussi bien connue...

Veuillez m'excuser si j'ai réagi trop vivement car vos compétences sont bien appréciées et vos commentaires assez pertinents.

en fait on est bien d'accord, c'est juste la présentation des choses qui nous "sépare"
l'observation des coordonnées / du dessin suggère l'hypothèse que ...
hypothèse que l'on vérifie immédiatement par le calcul pour l'exprimer alors comme une certitude

HS construction géométrique