Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Exercice intégrales

Posté par
AnthonyduVar
05-04-15 à 15:24

Bonjour, j'ai un devoir maison à rendre pour le mercredi 8 Avril, et je suis complètement bloqué dès le début...
Voilà le sujet:
http://www.***.jpg lafol > lien supprimé, fais l'effort de recopier ton énoncé sur le forum, AnthonyduVar, si tu veux de l'aide
Merci d'avance

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 15:28

Bonjour,

Recopie ton énoncé.

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 15:33

Ca risque d'être incompréhensible, il y a des schémas et pas mal de caractères que je ne sais pas ajouter ^^

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 16:04

Voilà déjà tes 2 schémas, tu as plus qu'à mettre l'énoncé.

Exercice intégrales

Exercice intégrales

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 16:17

est le solide engendré par la rotation de l'arc de parabole d'équation z = y² avec -1y1 dans un repère orthonormé d'axes oy et oz
On concoit qu'en encadrant de + en + finement par un empilage de cylindres, on peut approcher son volume V.

Sur Oz on subdivise [0;1] en n (n1) sous-intervalles de même longueur

On définit alors n-1 cylindres intérieurs et n cylindres extérieurs

On note Un la somme des volumes des CI (cylindres intérieurs) et Vn celle des extérieurs
1) a Justifiez que pour tout entier n1, Un=/n² x (1+2+...+(n-1))
b) démontrez que pour tout entier n1, Un = /2 x n-1/n. En déduire la limite L de la suite Un
2)a) Prouvez que pour tout entier n1, Vn= Un+ /n, puis que Vn converge aussi vers L
b) Déduisez en le volume V du bol. Contient-il plus de 1 litre?

C'est pour la première partie. J'aimerais finir celle-ci en priorité

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 17:11

A quoi est égale une hauteur de cylindre intérieur ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 17:40

Es-tu d'accord avec ce schéma là ?

Exercice intégrales

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 17:49

Tu es d'accord que le cylindre intérieur est formé par la bande rosée de la figure ci-dessus et qu'on va faoire tourner autour de l'axe O_z, ok ?

Exercice intégrales

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 17:56

Notons V_i le volume de ce cylindre, il sera donné par :

V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

A présent, il te faut faire :

U_n=\Sum_{i=1}^n V_i

Exercice intégrales

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 18:02

Pardon, je reprends :


A présent, il te faut faire :

U_n=\Sum_{i=1}^{n-1} V_i

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 19:28

Merci de votre aide mais  je ne vois pas comment rédiger la premiere question ... pouvez-vous m'aider ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:04

Question bête, mais as-tu au moins compris le début de cet exercice ?

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:11

Oui volume cylindre pi*r carré * h sa va mais comment on connait r et h ? Et comment obtenir la suite un ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:14

Regarde ma figure de 17:40

Peux-tu me calculer l'aire qui est en rose ?

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:15

Je comprend d'où vien le i/n et racine 1/n cest parce que cest des cylindres de hauteur h = i/n et comme cest la fonction ycarre on a la racine en abscisse . Cest sa ? sa doit paraitre evident mais sa m'aiderait à mieux comprendre l'exercice ..

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:18

v= pi r carre * h
= pi * r carre * ((i+1)/n - i/n )
je comprend pour trouver mais pas pour le rayon cest racine i/n mais pourquoi ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:21

Voilà une figure pour comprendre.

Exercice intégrales

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:30

Citation :
je comprend pour trouver mais pas pour le rayon cest racine i/n mais pourquoi


Tu as une fonction z(x)=y^2   (ou bien f(x)=x^2)

On subdivise l'axe des z  (l'axe des ordonnées ou encore l'axe des images) en n segments.

Donc sur l'axe des ordonnées on aura \frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n-1}{n}

Donc quels sont les antécédents de ces valeurs ?

Exercice intégrales

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:31

R= racine i/n carré
H= 1/n
V = pi * i/n * 1/n
= i pi / n carré ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:32

Si tu as une fonction telle que  f(x)=x^2 et que tu recherches l'antécédent de \frac{1}{n}, tu va bien faire f(x)=\frac{1}{n}\Longleftrightarrow \frac{1}{n}=x^2

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:33

Utilise l'écriture en Latex car sinon ça va être la cata.

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 20:39

Je sais pas ce quest latex ...
apres avoir trouve le volume du cylindre, vous disiez devoir faire une somme dans votre ancien message, a quoi cela correspond?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 21:12

Déjà il faut que tu me dises si tu as compris ce qu'on a fait jusque là.

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 21:23

Oui jai compris mais cest pour la suite que cest flou

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 21:32

Donc ça, tu as compris ?

V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 21:58

Oui ...

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 05-04-15 à 22:01

Donc es-tu d'accord que ce volume V_i correspond à un intervalle \frac{1}{n}

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 06-04-15 à 11:36

Oui mais je dois rendre ce devoir demain j'ai pas beaucoup avancé depuis je bloque toujours à la première question . Une fois le calcul du volume du cylindre fait, je dois trouver la suite un qui correspond à la somme des volumes des C.i. et Vn

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 06-04-15 à 13:16

Svp j'ai besoin d'aide ..

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 07:01

Tu t'y es pris un peu tard pour un devoir aussi difficile (mais fort intéressant au demeurant).

Ta suite U_n est la somme de tous les V_i de i=1 à i=n-1
En faisant cela et en factorisant, tu retombes sur le résultat demandé.

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 07:06


V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

U_n=V_1+V_2+V_3+...+V_{n-1}=\frac{\pi}{n^2}(1+2+3+...+(n-1)

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 07:13

V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

U_n=V_1+V_2+V_3+...+V_{n-1}=\frac{\pi}{n^2}[1+2+3+...+(n-1)]

Pour la question d'après, il t suffit juste de prendre l'expression de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :

1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

Attention, dans notre résultat on est avec (n-1) termes et non plus n termes.

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 07:18

merci

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 07:21

Donc la reponse a la 2 cest ?
N(n+1)/2 avc n-1 cest n-1(n) /2 non ?

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 13:59

1+2+3+...+\underbrace{n}_{\text{dernier terme}}=\frac{\overbrace{n}^{\text{dernier terme}}(n+1)}{2}

1+2+3+...+\underbrace{(n-1)}_{\text{dernier terme}}=\frac{\overbrace{(n-1)}^{\text{dernier terme}}[(n-1)+1]}{2}=\frac{(n-1)(n-\cancel{1}+\cancel{1})}{2}=\frac{n(n-1)}{2}

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 14:04

Ok merci je comprends mieux .
Comment montrer que Vn=Un+/n

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 14:12

Aïe, j'ai du t'induire en erreur dans mon post de 17:56. Je t'ai dit :

Notons V_i le volume de ce cylindre, il sera donné par :

V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

J'aurais du te dire :

Notons U_i le volume de ce cylindre, il sera donné par :

U_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{i}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{i\pi}{n^2}

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 14:15

Et dans mon message de 18:02, j'ai fait une boulette (pas d'incidence dans le résultat, mais ça peut en avoir  dans la compréhension).

J'ai mis :

A présent, il te faut faire :

U_n=\Sum_{{\color\red i=1}}^{n-1} U_i

Il aurait mieux valu mettre :

A présent, il te faut faire :

U_n=\Sum_{{\color\red i=0}}^{n-1} U_i

Posté par
AnthonyduVar
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 14:19

Je pense avoir trouvé la réponse aux questions 1.a) , b)
Comment faire pour la 2.a) . J'arrive à faire que pour la limite de Vn qui est pi/2 comme Un .

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 07-04-15 à 14:35

On a :

U_n=\Sum_{{\color\red i=0}}^{n-1} U_i

mais par contre on a :

V_n={\color\red\Sum_{i=1}^{n}} V_i

et

V_i=\pi r^2\times h=\pi(\sqrt{\frac{{\color\red i+1}}{n}})^2\times (\frac{i+1}{n}-\frac{i}{n})=\frac{(i+1)\pi}{n^2}=\underbrace{\frac{i\pi}{n^2}}_{=U_n}+\underbrace{\frac{\pi}{n^2}}_{\ne \frac{\pi}{n}\text{?}}

Vérifie ton énoncé concernant le \frac{\pi}{n}

Posté par
Jedoniezh
re : Exercice intégrales 09-04-15 à 07:39

As-tu vérifié ce dernier point stp ?



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !