Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Exercice L1 Nombre complexe (2)

Posté par
olive_68 18-07-09 à 02:02

Bonjour

Petit exercice de L1, j'aimerais bien savoir si j'ai juste etc et un peu d'aide pour la dernière question
N'hésitez pas à me latter pour l'expression

4$\fbox{1.}  Rappeler les formules d'Euler :

Citation :
Bon ben là sans complexe je dirais, 3$\blue \fbox{\{ \cos\(\theta\)=\fr{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \\ \sin\(\theta\)=\fr{e^{-i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}


4$\fbox{2.}  Soit 3$\blue \alpha et 3$\blue \beta deux nombres réels tel que 3$\fbox{\blue a=e^{i\alpha} et 3$\blue \fbox{b=e^{i\beta}
          Mettre le nombre 3$\red\fbox{ z=a+b sous forme trigonométrique.

Citation :
3$\fbox{z=e^{i\alpha}+e^{i\beta}=e^{i\(\fr{\alpha+\beta}{2}\)}\[e^{i\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)}+e^{i\(\fr{-\alpha+\beta}{2}\)}\]=2\cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)e^{i\(\fr{\alpha+\beta}{2}\)}

D'où 3$\blue \fbox{|z|=2\|\cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)\|

On a donc 3$\red \fbox{z=2\|\cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)\|\times \[\cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)+i\sin\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)\]


Voilà pour la forme trigo. mais je pense qu'elle est fausse à cause du signe de 3$\blue \cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\) mais sans hypothèse supplémentaire sur les nombres que l'on nous donne je ne sais rien dire de plus .. si je laissais sous forme exponentielle ça résoudrait le problème mais on ne veut pas cette forme ^^..

4$\fbox{3.}  Ecrire 3$\fbox{\cos(k\alpha+(n-k)\beta) en fonction de 3$\blue a et 3$\blue b. Puis simplifiez 3$\blue \fbox{\Bigsum_{k=0}^n \ \(n \\ k\) \cos\(k\alpha +(n-k)\beta\)

Citation :
10$\green \fbox{\star  Puisqu'on est avec les complexes autant s'en servir:   

\to  3$\blue \fbox{\cos(k\alpha+(n-k)\beta)=\cal{R}e\[a^k\times b^{n-k}\]  d'après la formule de Moivre.

(Puisque 3$a^k\times b^{n-k}=e^{i\(k\alpha+(n-k)\beta\)} puis la forme trigo donne immédiatement le résultat )

10$\green \fbox{\star  Donc 3$\red \fbox{\Bigsum_{k=0}^n \(n \\k \) \ \cos(k\alpha+(n-k)\beta)=\Bigsum_{k=0}^n \ \(n \\ k\) \ \cal{R}e\[a^k\times b^{n-k}\]=\cal{R}e\[\Bigsum_{k=0}^n \ \(n\\ k\) \times \[a^k\times b^{n-k}\]\]=\cal{R}e (a+b)^n


Le problème c'est que j'ai pas du tout utilisé ce que j'ai fais avant ... Donc voilà ..

3$\rm Merci d^'avance

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 09:37

Bonjour.

Bien vu, sauf :

¤ une erreur de frappe dans ta dernière formule de la question 2°).

¤ Pour la dernière question, utilise la forme de a + b que tu as trouvée en 2°) :

3$\textrm (a + b)^n = 2^ncos^n(\fra{\alpha-\beta}{2})exp(i\fra{n(\alpha+\beta)}{2}

Cela te permet de trouver la partie réelle.

Posté par
olive_68re : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 09:41

Re raymond

Merci

Ah oui j'avais pas fait attention mais c'est bien évidement des + qu'il faut lire

Et pour la dernière j'en conclu que mon raisonnement n'était pas fini ? Je vais poster ce que je trouve dans un prochain poste

Merci encore !

Posté par
olive_68re : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 10:14

Ah oui je viens de comprends ce que tu voulais montrer

Ben du coup c'est du 3$\[2\cos\(\fr{\alpha-\beta}{2}\)\cos\(\fr{\alpha+\beta}{2}\)\]^n qu'il faut trouver non ?

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 11:10

3$\textrm S = 2^ncos^n(\fra{\alpha-\beta}{2})cos(\fra{n(\alpha+\beta)}{2})

Posté par
olive_68re : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 11:14

Ah oui en effet je ne peux pas séparer la puissance comme ça m'arrange ..

Ben ouais, Merci beaucoup

Posté par
raymond Correcteurre : Exercice L1 Nombre complexe (2) 18-07-09 à 11:15

Bonne journée.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !