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Exercice limite de suites

Posté par
paulvergo 12-12-20 à 13:50

Bonjour,
je bloque complètement sur cet exercice sur les limites de suite, pouvez vous m'aider ?
Voici l'énnoncé :

On considère une suite (u_{n}) telle que, pour tout n:  

u_{n} = \frac{n}{n²+1} + \frac{n}{n²+2} + ... + \frac{n}{n²+n} = \sum_{k=1}^{n}{\frac{n}{n²+k}}

1. Justifier que, pour tout entier naturel n:

\frac{n²}{n²+n} \leq u_{n} \leq \frac{n²}{n²+1}

2. Justifier que la suite (u_{n}) converge et donner la valeur de sa limite.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice limite de suites 12-12-20 à 13:52

Bonjour, tu es devant une somme de n termes, quel est le plus grand ?,
quel est le plus petit ?
Ensuite il te suffira d'écrire que la somme est plus grande que n fois le plus petit et plus petite que n fois le plus grand.

Posté par
paulvergore : Exercice limite de suites 12-12-20 à 14:34

La somme le terme le plus petit est \frac{n}{n²+1} et le terme le plus grand est \frac{n}{n²+n}

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice limite de suites 12-12-20 à 15:16

Ben non, c'est exactement le contraire. le terme le plus petit c'est celui qui a le dénominateur le plus grand.

Posté par
paulvergore : Exercice limite de suites 12-12-20 à 16:47

A oui effectivement j'avais oublié que c'était l'inverse avec la division.
Donc on a \frac{n}{n²+n} qui est le plus petit terme et  \frac{n}{n²+1} qui est le plus grand terme.
Mais ensuite comment faire pour savoir combien de fois \frac{n}{n²+n} est plus grand que \frac{n}{n²+1} et comment ça va me servir ?

Posté par
naghmouchre : Exercice limite de suites 13-12-20 à 08:20

Bonjour. (Glapion )
  on a :  1   k      n
  donc :  n² + 1   n² + k    n² +  n
par suite :

     \frac{n}{n²+n}   \frac{n}{n²+k}  \frac{n}{n²+1}

Posté par
Glapion Moderateurre : Exercice limite de suites 13-12-20 à 10:57

il te suffit d'écrire que la somme est plus grande que n fois le plus petit et plus petite que n fois le plus grand.
tu peux aussi écrire les inégalités comme l'a fait naghmouch pour k allant de 1 à n et les ajouter membre à membre.


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