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exercice ln
Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice qui me permettrait de terminer mon devoir, je ne suis malheureusement pas très doué pour les fonctions et je ne sais pas trop comment faire la question 2 et du coup, la question 4 qui en découle me semble-t-il.
Merci d'avance pour votre aide.
Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=1/2In(x^3+1)
1- Montrer que f est croissante sur [0 ;+∞[. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 1].
la dérivée est positive donc la suite est croissante sur l'intervalle.
en 0, f(x)=0 et en 1, f(x)=(ln2)/2
On considère la suite (u_n ) définie par u_0 =1 et pour tout n de N, u_{n+1}=f (u_n).
2- a) Démontrer que pour tout n de N, 0 ≤u_{n+1}≤u_n ≤1.
Là, je bloque un peu, merci de votre aide
b) En déduire la convergence de la suite (u_n).
3- On considère la fonction g définie sur [0 ; 1] par g (x )= x−f (x ).
a) On a effectué les calculs suivants à l'aide d'un logiciel de calcul formel. (voir capture d'écran en bas du post)
A quels calculs correspondent les 4e et 5e lignes de cette feuille de calcul ?
la ligne 4 correspond au calcul de la dérivée seconde de g(x)
la ligne 5 correspond au calcul de la dérivée de g(x) pour x=1
b) À partir de ces calculs, déterminer le sens de variation de la fonction g ' sur [0 ; 1].
sur l'intervalle g''(x) est négatif donc g'(x) est décroissante
nous avons g(0)=1et g(1)=1/4
c) En déduire le signe de g' sur [0 ; 1] puis le sens de variation de g sur [0 ; 1].
g'(x) est positive sur l'intervalle donc g(x) est croissante
nous avons g(0)=0 et g(1)=1-(ln2)/2
d) Montrer que l'équation g (x) = 0 admet une unique solution dans [0 ; 1] que l'on précisera.
nous avons g(0)=0 et g(x) strictement croissante donc g(x)=0 n'a qu'une seule solution sur l'intervalle
4- En déduire que lim_{n-->+∞} u_n=0.
ici, je bloque aussi, merci
bonjour
2a) : montre-le par récurrence.
et pense que si f est croissante et que a < b alors f(a)<f(b)
Bonjour,
Pour la question 2a), un simple raisonnement par récurrence suffit :
-> on a : u0=1 et u1=f(1)=(ln2)/2
0,35
Donc u1
u01
-> prenons un entier n tel que un+1un1
On en déduit, puisque la fonction est croissante sur l'intervalle [0;1] que ... je te laisse continuer 
Pour la question 2b) il suffit d'utiliser le théorème sur les suites décroissantes minorées.
et pour la (4) :
tu sais que (un) évolue dans [0;1] et qu'elle converge d'après le 2b)
appelle L sa limite...
utilise un+1=f(un) en y faisant tendre n vers l'infini
qu'en déduis-tu pour L ?
conclue en utilisant le 3d)
on suppose un≤un-1
un+1=ln(un^3+1)/2
un+1-un=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1))
comme 0≤un≤un-1 alors 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1
==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0
==> un+1-un≤0 n
la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante
Est ce que si j'écris cela, c'est correct ? la récurrence, c'est vraiment pas mon truc
que c'est compliqué !!!!
tu peux pas utiliser tout simplement la fonction f dont tu as montré qu'elle est croissante ?
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