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Exercice lycée pour Ramanujan

Posté par
mousse42
01-04-20 à 21:18

Salut Ramanujan

Cet exercice ne devrait pas te poser problème c'est du niveau lycée ( comme tu aimes les étoiles, c'est un exo trois étoiles!!)

Enoncé

Soit f une fonction continue sur [a,b] et \big(x_i\big)_{i=1}^n une famille finie de réels de [a,b]

Montrer que l'équation nf(x)=\sum_{i=1}^nf(x_i) admet au moins une solution

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 01-04-20 à 22:36

Salut,

En effet, pas si simple. J'ai tenté plusieurs choses sans succès au départ. J'ai mis 35 minutes pour en venir à bout.

Exercice très intéressant Mousse, merci. Dommage que c'est pas le genre d'exercice posé au bac qui pousse à la réflexion.

Ordonnons les x_i  de telle sorte que f(x_1) \leq  f(x_2) \leq  \cdots f(x_n) et posons g(x)=nf(x)- \sum_{i=1}^n f(x_i) = \sum_{i=1}^n (f(x)-f(x_i))

Calculons g(x_1)=  \sum_{i=1}^n (f(x_1)-f(x_i)) = \sum_{i=2}^n (f(x_1)-f(x_i))

Or par construction \forall i \in [|2,n|] \ f(x_1) \leq f(x_i) \implies f(x_1) - f(x_i) \leq 0

Par somme de termes négatifs, on obtient g(x_1) \leq 0

Calculons g(x_n)=  \sum_{i=1}^n (f(x_n)-f(x_i)) = \sum_{i=1}^{n-1} (f(x_n)-f(x_i))

Or par construction \forall i \in [|1,n-1|] \ f(x_n) \geq f(x_i) \implies f(x_n) - f(x_i) \geq 0

Ainsi g(x_1) g(x_n) \leq 0 et g est continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un c compris entre x_1 et x_n tel que g(c)=0

L'équation admet au moins une solution.

Posté par
mousse42
re : Exercice lycée pour Ramanujan 01-04-20 à 23:10

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 01-04-20 à 23:13

Au début j'avais considéré x_1 < \cdots x_n mais je ne trouvais rien.

Après je me suis rendu compte qu'il fallait ordonner les images.

Posté par
mousse42
re : Exercice lycée pour Ramanujan 01-04-20 à 23:37

je vais en trouver un autre, un peu plus dur niveau seconde pour que tu ne sous-estimes pas le programme de collège lycée, ensuite lorsqu'on te dit que tu bloques souvent sur des problèmes de niveau collège lycée, c'est véridique et les exemples sont nombreux. Travaille sur des exos de ton niveau et laisse de côté X, Central et MPSCTF je ne sais pas trop quoi et reviens sur un programme niveau L1 sans hésiter de revoir certaines choses du collège lycée. La méthode des petits pas est plus efficace. Et surtout oublie l'agrégation, ce n'est pas pour toi pour l'instant!!!

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 01-04-20 à 23:52

Je travaille le programme de L1 dans mon livre de MPSI.
Sauf que parfois, certains exercices sont difficiles.

Mais je ne suis pas contre faire des exercices niveau lycée pour travailler ma réflexion.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 00:32

tout ça me parait bien sophistiqué ...

la moyenne m des {f(xi)} est comprise entre le plus grand (disons f(x1) )et le plus petit (disons f(x2) ... quitte à ré-indexer

la fonction étant continue elle atteint toute les valeurs comprises entre f(x1) et f(x2) ... donc il existe x dans l'intervalle tel que f(x) = m

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 00:46

Ah bien vu en effet, c'était plus simple avec la moyenne.

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 00:47

ben oui ! faut réfléchir au sens des quantités plutôt que de foncer des des calculs alambiqués

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 01:32

Je n'ai pas fait de calcul j'ai juste réécris les choses.

Mais pour un lycée votre solution est plus simple à comprendre que la mienne.

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 09:21

Citation :
Dommage que c'est pas le genre d'exercice posé au bac qui pousse à la réflexion.

si tu pouvais arrêter ce genre de réflexions...ce serait pas mal....

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 09:25

malou

effectivement car en matière de réflexion... c'est plutôt complexe pour notre ami

(voir sujet associé... réflexion et complexes)

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 09:34

non, mais faut arrêter là....quand on voit que des terminales faisaient les exos sur les isométries etc ...les doigts dans le nez...il pourrait ne pas donner de leçons aux autres...
Ramanujan ou comment essayer de monter à une échelle dont il manque les 7 premiers barreaux !

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 09:41

je suis bien d'accord avec toi malou
c'était d'ailleurs superbe cette époque où on étudiait à fond les isométries planes et les similitudes en TC puis TS.
on y découvrait les groupes (sans le dire) et pour le coup c'était de vraies mathématiques et pas des moulinettes calculatoires désincarnées

Posté par
mousse42
re : Exercice lycée pour Ramanujan 02-04-20 à 16:40

Rama, je t'ai donné un autre exo   Exercice niveau 1er S pour ramanujan

Posté par
Ramanujan
re : Exercice lycée pour Ramanujan 03-04-20 à 02:53

Je n'aime pas la géométrie.

Puis j'en ai pas fait depuis la seconde donc je suis mauvais.

Je donne pas des leçons aux élèves, je critique le programme actuel et le bac dont le niveau est bas et ne pousse pas les élèves à se surpasser. Les questions c'est du genre calculer la dérivée de e^{2x}.

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