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EXERCICE math spé : arithmétique et problèmes de codage
on considère la suite d'entiers naturels (Un) définie pour tout entier naturel par :
U0 = 0 et Un +1 = 11Un +10
On se propose d'étudier la divisibilité des termes de cette suite par d'autres nombres
Partie 1
1) calculer u1 , u2 , u3
2) Montrer par récurrence que pour tout n de N , Un divisible par 10
3) Montrer que pour tout n de N ,Un+2 congu Un modulo 3
en déduire sans démonstration une condition portant sur n équivalente à "Un est divisible par 3 "
Partie 2
1) Montrer par réccurence , que pour tout n de N , Un =11^n -1
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de 4^K par 7 selon les valeurs de K
3) En déduire les restes possibles de la division euclidienne de Un par 7
Partie 3
1) Montrer que , pour tous n de N , Un = 10 SIKMA , avec n-1 en haut et k=0 ainsi que 11¨k
2) trouver une valeur de n telle que
a) Un sois divisible par 100
b) UN Sois divisible par 42
Merci j'ai essayé de cherché mais je suis bloquée
bonne soirée
bonjour
Partie 1
1) U1 u2 et u3 ce n'est que du calcul
U1=11U0+10=10
U2=11U1+10=110+10=120
U3=11U2+10=1320+10=1330
2)
U(n+1)=11Un+10
en prenant les congruence modulo 10 tu as U(n+1)=Un (10)
maintenant en commence la récurrence
initialisation
pour n=0 U0=0 et 10 divise 0 donc vraie pour n=0
hérédité
supoosons que 10 divise Un donc Un=0 (10)
comme U(n+1)=Un (10)
donc U(n+1)=0 (10)
donc 10 divise U(n+1)
conclusion
qq soit n 10 divise Un
3) U(n+2)=11U(n+1)+10=11(11Un+10)+10=121Un+120
121=1 (3) et 120=0 (3) donc 121Un+120=Un (3) donc U(n+2)=Un (3)
donc U(n+2)=U0 (3) si n est pair et U(n+2)=U1 si n impair
donc 3 divise Un si n est pair et 3 ne divise pas Un si n est impair
Partie 2
1) Un=11^n - 1
initialisation
pour n=0 U0=0 et 11° -1=1-1=0 donc U0=11° -1 vraie pour n=0
hérédité
supposes que Un=11^n - 1 et montres que U(n+1)=11^(n+1) - 1
U(n+1)=11Un+10
=11(11^n -1)+10
=11^(n+1) -11 +10
=11^(n+1) - 1 donc vraie pour n+1
donc qq soit n Un=11^n - 1
2)
4=4 (7) 4²=2 (7) 4^3=1 (7) donc 4^(3p)=1 (7) et 4^(3p+1)=4 (7) et 4^(3p+2)=2 (7)
3)11=4 (7) donc 11^n=4^n (7) donc Un=4^n - 1 (7)
si n=3p alors Un=1-1 (7)=0 (7) donc 7 divise U(3p)
si n=3p+1 alors Un=4-1 (7)=3 (7) comme 0<3<7 donc le reste est 3
su n=3p+2 alors Un=2-1 (7)=1 (7) comme 0<1<7 donc le reste est 1
Partie 3
1) on a 1+11+11²+...+11^(n-1)= (11^n -1)/(11-1) ; somme des termes d'une suite géométrique de raison 11.
=Un/10
donc
Un=10[1+11+11²+...+11^(n-1)]
2)a)
11=1 (10)
donc
qq soit n 11^n=1 (10)
donc
1+11+11²+...+11^(n-1)=1+1+...+1 (10) ; somme de n termes égaux à 1
=n (10)
donc si 10 divise n alors 1+11+11²+...+11^(n-1)=0 (10)
comme Un=10(1+11+11²+...+11^(n-1)
donc si n=0 (10) alors Un=0 (100)
b)
42=2*3*7
comme 2 et 3 et 7 sont premiers entre eux alors Un est divisible par 42 ssi Un est divisible par 2 et par 3 et par 7
Un est divisible par 2 car elle est divisible par 10
Un est divisible par 3 ssi n est pair ssi n=2m
Un divisible par 7 ssi 3 divise n comme 2 est premier avec 3 donc d'apprès le th de Gauss ssi 3 divise m donc n=2*3k=6k
en résumé
42 divise Un ssi 6 divise n
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