Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice maths : polynôme
Bonsoir, je n'arrive vraiment pas à faire un exercice à rendre en dm.
Pourriez-vous m'aider svp?
Voici l'exercice:
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z^4?8z^3+41z^2 ?128z+400.
1)Montrer que si z est une racine du polynôme P, alors son conjugué zbar en est aussi une.
2)a. Soit b un réel. Déterminer P(ib) en fonction de b puis l?écrire sous forme algébrique .
b.Montrer que le polynôme P admet exactement deux racines imaginaires pures dans C et les calculer.
3)Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z^2 +16)(az^2+bz+c).
4)Résoudre dans C l?équation P(z)=0.
Merci d'avance pour votre aide!
***Titre complété***
J'ai commencé avec la 1) en disant que si z est une racine de P alors P(z)=0, puis j'ai démontré que P(zbar)=0bar et que 0bar=0. Par conséquent P(zbar)=0 et zbar est donc une racine de P. (je ne sais pas si c'est juste...)
Et je bloque pour la suite.
Merci 
Oui, c'est juste.
C'est grâce aux propriétés des conjugués.
Pour la suite, écris P(ib) sachant que i2=-1, i3=-i et i4=1
Pour cela j'ai trouvé :
P(ib) = (ib)^4-8(ib)^3+41(ib)^2-128(ib)+400 et en développant le tout je trouve
b^4-41b^2+400+ib(8b^2-128)
C'est juste la suite qui me bloque car je ne sais pas quoi faire, quelle démarche à suivre.
Merci de votre réponse
Pour que P(ib)=0, ses parties réelle et imaginaire doivent être nulles.
Soit 2 équations à résoudre.
Pour la partie imaginaire, c'est assez facile... 
C'est à cette étape que je bloque car je ne sais pas si j'ai fini la question 2)a) et doit donc passet à la 2)b) ou non? Et je ne pense pas avoir bien compris ce que vous dîtes ( je suis désolé si je vous embête)
***Merci de choisir un titre plus explicite pour le sujet la prochaine fois (relire la FAQ)***
La réponse à la 2a est bien
P(ib) = (ib)^4-8(ib)^3+41(ib)^2-128(ib)+400 et en développant le tout je trouve
b^4-41b^2+400+ib(8b^2-128)
Tu peux donc passer à la 2b
Merci pour votre réponse.
Je bloque encore car je ne vois pas comment calculer les 2 racines imaginaires pures.
Je sais que pour calculer des racines il faut utiliser le déterminant (b^2-4ac) mais ce dernier est utilisé pour les polynômes de second degré non? Or, ici il y a du 4ème degré et je ne vois vraiment pas comment faire pour avancer dans cet exercice.
Annuler
connectez vous