Tout d'abord, bonjour !
C'est la première fois que je pose une question sur ce forum

Je suis en première année de fac, et j'aurais besoin d'aide sur un exercice de maths portant sur les matrices.


Voilà l'énoncé de l'exercice en question :

On considère la matrice réelle B telle que :

B = 2 2 3
        1 1 4
        1 -2 1

(désolé, je ne sais pas comment noter des matrices sur ce site)

1) Vérifier que B est inversible et trouver son inverse par la méthode de votre choix.

2) La trace de B est la somme de ses éléments diagonaux. On note ce nombre tr(B). Déterminer alors α ∈ IR tel que
B³−tr(B)B²+αB−15.I₃ = 0
et retrouver le fait que B est inversible.
Montrer que B⁻¹ est un polynôme en B.


J'ai déjà répondu à la première question en utilisant la méthode de Gauss-Jordan :

1) En vous passant les détails des calculs, on se retrouve à un moment avec une matrice triangulaire supérieure : les éléments diagonaux de la matrice étant différents de 0, j'en conclus qu'elle est inversible.

J'ai fini par trouver la valeur de l'inverse de B :
3/5     -8/15      1/3
1/5    -1/15      -1/3
-1/5        2/5          0

2) Je bloque principalement sur cette deuxième question. J'ai successivement calculé les valeurs de B², de B³ et de la trace (qui, d'après sa définition, vaut 4 dans notre cas).

La question peut sembler bête, mais je suis complètement novice en la matière (et, avouons-le, un peu perdu dans ce chapitre sur les matrices...). Je ne vois pas vraiment comment montrer que B est inversible en utilisant cette équation, et encore moins que B⁻¹ est un polynôme en B.

Si quelqu'un passe par là et a des pistes ou des réponses à m'apporter pour résoudre le problème, n'hésitez pas !
Merci d'avance pour votre aide