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Exercice Matrice de spé Maths

Posté par
ImFrenetik 26-11-12 à 20:08

Bonjour à tous.
Donc voilà je suis en term ES et j'ai un exercice à faire sur les matrices pour mon cours[b][/b] de maths spé.
Voilà l'énoncé :
Une économie comprend 3 secteurs de production, produisant des biens notés X, Y, et Z.
Pour produire une unité de X, on consomme 0,3 unité de X, 0,5 unité de Y et 0,1 unité de Z.
De la même façon pour produire une unité de Y (respectivement de Z), on consomme 0,4 unité de X, 0,2 unité de Y, 0,3 unité de Z (respectivement 0,1 de X, 0,6 de Y et 0,1 de Z).
La demande des consommateurs est de 11 unités de X, 20 de Y et 42 de Z.
On note x,y et z les quantités respectives de biens X, Y et Z à produire pour satisfaire, à la fois la demande interne( celle de chaque secteur) et la demande externe (celle des consommateurs).

1. Mettre en équation ce problème.
2. Montrer que le système à résoudre est équivalent à : X= AX+C où A est une matrice carrée de dimension 3,
X=(x
    y
    z)...(Désolé pour la représentation de la matrice ^^) et C une matrice colonne à trois lignes.
3. En déduire que le système est équivalent à (I3-A)X=C
4. Déterminer X.
5. Conclure.

Tout est là. J'ai simplement besoin d'un peu d'aide pour démarrer car je comprends l'énoncé mais quand il s'agit de passer aux questions... je bloque.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Labore : Exercice Matrice de spé Maths 26-11-12 à 21:23

Bonsoir,
1) x=11+0,3x+0,5y+0,1z
y=20+0,4x+0,2y+0,3z
z=42+0,1x+0,6y+0,1z
2)
X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix}0,3  0,5  0,1\\ 0,4  0,2  0,3\\ 0, 1   0,6       0,1\end{pmatrix}.

C=\begin{pmatrix}11 \\ 20\\ 42\end{pmatrix}

Posté par
Pierre_Dre : Exercice Matrice de spé Maths 26-11-12 à 21:35

Bonjour Imfrenetik,

Considère le bien X par exemple : sa quantité totale x doit satisfaire la demande externe en X (11, premier élément du vecteur colonne A) et aussi les consommations intermédiaires de X pour produire X, Y et Z, soit 0,3x + 0,4y + 0,1z ; d'où la première équation :
x = 0,3x + 0,4y + 0,1z + 11
et les deux autres analogues pour Y et Z ...

Posté par
Pierre_Dre : Exercice Matrice de spé Maths 26-11-12 à 21:40

Bonjour Labo, et attention : la quantité de X nécessaire pour produire les quantités totales x, y, z est bien   0,3x + 0,4y (et non 0,5y) + 0,1z .
Ta matrice A est donc la transposée de la vraie A ...

Posté par
Labore : Exercice Matrice de spé Maths 27-11-12 à 12:55

Bonjour Pierre_D

merci d'avoir corrigé
1)x=0,3x+0,4y+0,1z+1
y=0,5x+0,2y+0,6z +20
z=0,1x+0,1y+0,3z+42
2)
X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix}0,3  0,4  0,1\\ 0,5  0,2  0,6\\ 0,1  0,1  0,3\end{pmatrix}.

C=\begin{pmatrix}11 \\ 20\\ 42\end{pmatrix}

3)
X=AX+C \\ X-AX=C \\ I_3X-AX=C \\ (I_3-A)X=C \\ (I_3-A)^{-1}(I_3-A)X=(I_3-A)^{-1}C
si la matrice (I_3-A) est inversible alors
I_3X=(I_3-A)^{-1}C
X=(I_3-A)^{-1}C

tu utilises la calculatrice...
C=\begin{pmatrix}143 \\ 195,7\\ 108,4\end{pmatrix}
valeurs arrondies au dixième
sauf erreur...

Posté par
ImFrenetikre : Exercice Matrice de spé Maths 27-11-12 à 14:39

Merci beaucoup je vais cogiter là dessus et je reposterais si j'ai à nouveau besoin d'aide

Posté par
Labore : Exercice Matrice de spé Maths 27-11-12 à 17:29

tu utilises la calculatrice...
X=\begin{pmatrix}143 \\ 195,7\\ 108,4\end{pmatrix}
valeurs arrondies au dixième

Posté par
Pierre_Dre : Exercice Matrice de spé Maths 27-11-12 à 17:51

Re-attention Labo :
la troisième équation est plutôt  :  z=0,1x+0,3y+0,1z+42

Posté par
Labore : Exercice Matrice de spé Maths 27-11-12 à 18:42



x=0,3x+0,4y+0,1z+11
y=0,5x+0,2y+0,6z+20
z=0,1x+0,3y+0,1z+42


X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix}0,3  0,4  0,1\\ 0,5  0,2  0,6\\ 0,1  0,3  0,1\end{pmatrix}.


==>
X=\begin{pmatrix}180 \\ 250\\ 150\end{pmatrix}
sauf erreur

Posté par
flightre : Exercice Matrice de spé Maths 08-07-18 à 19:20

Salut
Suis tombé sur cet énoncé un peut par hasard... Il me semble que A. X+C ne cadre pas avec les impératifs de l énoncé
Parceque si on veut par exemple 11 unités de X, on aura forcément 0,3.11 de X,  11.0,5.de Y et 11.0,1 de Z... Je ne vois pas d ou sort cette forme linéaire !..

Posté par
PLSVUre : Exercice Matrice de spé Maths 10-07-18 à 00:20

Bonsoir,
On peut vérifier:
Si on fabrique 180 unités x   ,250 unités y et 150 unités z    
on a
11 unités x  pour la demande externe
54 unités x pour la fabrication des 180  unités x
100 unités x pour la fabrication des 250 unités y
15 unités x pour la fabrication des 150 unités z
180=0,3*180+0,4*250+0,1*150+11

20 unités y pour la demande externe
90  unités y pour la fabrication des 180  unités x
50  unités y pour la fabrication des 250 unités y
90  unités y pour la fabrication des 150 unités z
250=0,5*180+0,2*250+0,6*150+20

42 unités z pour la demande externe
18  unités z pour la fabrication des 180  unités x
75 unités z pour la fabrication des 250 unités y
15 unités z pour la fabrication des 150 unités z
150=0,1*180+0,3*250+0,1*150+20

Posté par
flightre : Exercice Matrice de spé Maths 10-07-18 à 10:47

ah ok merci PLSVU   je n'ai pas fait gaffe à  "demande externe "  et demande externe "
tout est claire , merci à toi

Posté par
flightre : Exercice Matrice de spé Maths 10-07-18 à 10:47

..(demande interne , pardon)

Posté par
PLSVUre : Exercice Matrice de spé Maths 10-07-18 à 13:15

Posté par
THIBAUULTre : Exercice Matrice de spé Maths 08-11-18 à 18:37

Bonsoir a vous,

Je ne comprend pas ce qu'est le I3
quelqu'un pourrait m'expliquer, merci a vous

Posté par
PLSVUre : Exercice Matrice de spé Maths 09-11-18 à 17:38

Bonsoir,

I_3=\begin{pmatrix}1   0   0 \\ 0  1  0\\ 0   0  1\end{pmatrix}.


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