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Exercice Matrice Spé Math

Posté par
AresTocade 25-10-14 à 13:58

Bonjour à tous,

La population d'une île vit dans une ville principale ou dans un des villages de campagne.
Des études ont montré que, d'une année sur l'autre:
       -10% de la population de la ville part vivre à la campagne;
       -20% de la population rurale part habiter en ville.
En 2010, 8 000 individus habitaient en ville et 2 000 à la campagne. On suppose que le nombre d'habitants de l'île reste constant au cours des années.
Pour un nombre entier naturel n, on note an (resp bn) le nombre d'individus, en milliers, qui habitent la ville (resp. la campagne) en 2010+n.
On se propose de trouver une formule donnant le nombre d'individus habitant en ville, quelle que soit l'année.

Partie A- Modélisation à l'aide de suites

1) a. Donner a0 et b0 puis a1 et b1.
( Ici j'ai mis pour a0=8 000 et b0=2 000 puis 7 600 pour a1 et 2 400 pour b1 )

b. Montrer que pour tout n de \mathbb{N}:
\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix} avec une matrice carrée A que l'on précisera

donc A=\begin{pmatrix}0,9&0,2\\0,1&0.8\end{pmatrix}

c) Démontrer par recurrence que, pour tout n\ge1:
\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=An\begin{pmatrix}a_{0}\\b_{0}\end{pmatrix}

Je bloque ici et pour le reste...

2) P=\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}

a) Avec un logiciel de calcul formel (Calculatrice), montrer que:
P-1\timesA\timesP=D où D=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}\end{pmatrix} avec \lambda_{1}et \lambda_{2} des nombres réels que l'on précisera.
b) En déduire que A=PDP-1, puis, par récurrence que, pour tout n\ge1:
An=P\begin{pmatrix}\lambda_{1} ^n&0\\0&\lambda_{2} ^n\end{pmatrix}
c) En déduire une expression de An en fonction de n.

Partie B- Nombre de citadins

a) Utiliser la partie A pour exprimer a_{n}, puis b_{n} en fonction de n.


Bon b franchement je n'ai absolument rien compris... Le peu d'exercices que nous avons fait en mêlant suite et matrice furent relativement simple mais là je bloque complètement.
Merci de bien vouloir m'aider.

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 15:14

Bonjour,

1)a) On parle de milliers:

\begin{cases}a_0=8\\b_0=2\end{cases} et \begin{cases}a_1=7.6\\b_1=2.4\end{cases}

1)b) On traduit l' énoncé:

\begin{cases}a_{n+1}=a_n-0.1a_n+0.2b_n\\b_{n+1}=b_n+0.1a_n-0.2b_n\end{cases}

\begin{cases}a_{n+1}=0.9a_n+0.2b_n\\b_{n+1}=0.1a_n+0.8b_n\end{cases}

\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 15:22

1)c) Initialisation:

On a bien \begin{pmatrix}7.6\\2.4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}

C' est à dire: \begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}=A\,\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}

Hérédité:

Si \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=A^n\,\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}, alors:

\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=A\,\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=A.A^n\,\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}=A^{n+1}\,\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}

Et l' hérédité est prouvée.

Posté par
AresTocadere : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 15:30

Merci beaucoup, j'avais finis par trouver mais avec quelques imperfections que je peux corriger maintenant grâce à vous.
J'en suis arrivé là:
Pour la question suivante je trouve: \lambda_{1}=0,7et \lambda_{2}=1

Ensuite 2. b) P-1AP=D
                   P-1PAP=PD
                          AP=PD
                     APP-1=PDP-1
                            A=PDP-1

An=A\timesA...\timesA
( Or A=PDP-1 )
    = PDP-1\timesPDP-1\times...\timesPDP-1
An=PDnP-1

Et pour la récurrence je n'ai pas compris comment faire...

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 15:52

2)a) On trouve P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0.7&0\\0&1\end{pmatrix}

2)b) P^{-1}AP=D

P^{-1}A=DP^{-1}

A=PDP^{-1}

Je te laisse la récurrence...

2)c) On a donc: A^n=PD^nP^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.7^n&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix} \\

Après calculs: A^n=\begin{pmatrix}\frac{2+0.7^n}{3}&\frac{2-2\times 0.7^n}{3}\\\frac{1-0.7^n}{3}&\frac{1+2\times0.7^n}{3}\end{pmatrix}

B)a) On a donc:

\begin{cases}a_n=\dfrac{20+4\times 0.7^n}{3}\\b_n=\dfrac{10-4\times 0.7^n}{3}\end{cases}

Posté par
AresTocadere : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 16:42

Pour l'hérédité je modifie juste les n par n+1 ? Pas trop de modifications à faire dans cette récurrence ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 16:53

On suppose que pour un certain rang n entier fixé:

A^n=P\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}P^{-1}

Alors A_{n+1}=A^n.A=P\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}P^{-1}.P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}=P\begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}P^{-1}

A^{n+1}=P\begin{pmatrix}\lambda_1^{n+1}&0\\0&\lambda_2^{n+1}\end{pmatrix}P^{-1}

Et l' hérédité est prouvée.

Posté par
AresTocadere : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 17:09

Ah oui d'accord... Franchement mille merci ! Je ne comprenais pas comment faire une récurrence avec les matrices mais là c'est compris .

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 17:10

Alors tout va bien et de rien AresTocade

Posté par
cailloux Correcteurre : Exercice Matrice Spé Math 25-10-14 à 17:13

Par contre se désinscrire juste après avoir eu ses réponses...

Posté par
Helene39re : Exercice Matrice Spé Math 24-10-17 à 22:34

Bonjour, j'ai se meme exercice a faire et je ne comprend pas votre réponse a) comment vous trouvez a1= 7,6 et b1=2,4 merci d'avance


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