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Exercice matrices
Bonjour à tous, j'ai un exercice sur les matrices à faire dont voici l'énoncé :
Une matrice carré d'ordre n est diagonalisable s'il existe une matrice carré P d'ordre n inversible et une matrice D diagonale d'ordre n tel que A = PDP^-1 on considère les matrices A et P ci-dessous. On admet que la matrice P est inversible.
A= (1 2 2) et P = (1 2 3)
(-4 5 8) (-1 0 2) (désolé je ne sais pas comment représenté les matrices
(1 0 0) (1 1 1) sur ordinateur, ce sont des matrice carré 3x3)
On pose D= P^-1 AP
A= PDP^-1
J'ai ensuite les questions suivantes :
a) Exprimer A^2 et A^3 en fonction de P,D et P^-1
b) Determiner A^n en fonction de P, D et P^-1
c) On admet que D^n est obtenue en élevant à la puissance n les coefficients diagonaux de D : Déterminer les coefficients de A^n en fonction de n
d) Vérifier vos résultats en remplaçant n par 2
Pour la a) j'ai trouve A^2 = AP^2 P^-1
et A^3= AP^3 P^-1
pour la b) A^n = 1P^n P^-1
mais pour le reste je n'y suis pas arrivé
quelque pourrait-il m'expliquer ?
Merci d'avance
c'est à dire? x^3 c'est x à la puissance 3 c'est à dire x qu'on multiplie par lui même 3 fois?
un peu de sérieux !!!
au lieu de lancer une pièce et proposer un résultat au hasard tu prends un papier et un crayon et tu fais ça proprement ...
A^2 = PDP^-1 x PDP^-1 = (PDP^-1)^2 je ne vois pas comment je peux plus simplifier sachant que je ne peux pas mettre une matrice à la puissance -2 et que je ne peux pas non plus diviser deux matrices
Ah non ! puisqu'une matrice multiplié par la matrice identité donne comme résultat cette même matrice donc A^2= PDDP^-1 = PD^2P^-1 ???
et donc plus généralement A^n = PD^n P^-1 ???
Merci beaucoup ! j'ai vérifier et c'est bien ça! pourriez vous m'aidez pour la question c je n'arrive pas à comprendre la question..
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