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Exercice Matrices T ES
Bonjour ! Merci à tous pour votre future aide,
Voilà le professeur nous à donné un exercice, un seul, qui est un exercice Post-Bac du livre Terminale ES sur les matrices et les graphes, problème, le mélange des différents thèmes m'embrouille sérieusement, je poste ici les questions et mes réponses.
1. Etude Théorique
On se propose de déterminer les puissances successives de la matrice M définie ci -contre.
M =
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
a) Calculer M2, M3 et M4
Etablir une relation simple entre M4 et M3
b) On admet qu'il existe une suite (An) telle que pour tout nombre entier n ⩾ 3, Mn= An M3
Préciser la valeur de a3 et a4, et, en calculant Mn+1 = MnxM, montrer que la suite (An). Donner sa raison.
c) En déduire l'expression de An en fonction de n.
d) En déduire que Mn = 2n-3 x
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
2. Application
Un agent commercial prospecte quatre villes: Auxerre, Beaune, Châtillon et Dijon, notées A,B,C,D.
Ses déplacements sont repérés par la matrice d'adjacence M définie à la question 1.
a) Va-t-il directement d'Auxerre à Beaune ?
b) Construire un graphe correspondant à M .
c) Quel est le nombre de chemins de longueur 3 allant de A à D ? En faire une liste.
d) Utiliser le 1. pour déterminer le nombre de chemin de longueur 8 de ce graphe.
Mes réponses:
1. a) M2 = 1 2 2 1 M3 = 3 3 3 3 M4 = 6 6 6 6
1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4
1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Comme relation entre M4 et M3, j'ai tout simplement observé que c'est exactement le double, mais je ne sais pas si c'est la relation recherchée.
Je coince ensuite pour le reste du 1.
2. a) Non il ne va pas directement d'Auxerre à Beaune mais de Beaune à Auxerre.
b) Graphe tracé en bas
c) Il y'a 3 chemins de longeur 3 allant de A à D : A-C-B-D
A-D-B-D et je ne trouve pas le dernier
d) Je coince ici aussi
Je ne cherche absolument pas de réponses direct mais je en dirais pas non à quelques pistes d'aide,
Merci beaucoup d'avance
Bonjour,
Oui, M4=2M3
La dernière ligne de M4 doit d'ailleurs être constituée de "2". Pas de "1".
Question 1)b) Que faut-il montrer? Qu'as-tu trouvé?
Bonjour,
Oui, M4=2M3
La dernière ligne de M4 doit d'ailleurs être constituée de "2". Pas de "1".
Question 1)b) Que faut-il montrer? Qu'as-tu trouvé?
Exact, merci d'avoir repéré mon erreur dans ma rédaction.
Ahhh ! Je pense avoir compris, Si Mn = An M3
Alors cela veut dire que M3 = 1 x M3 donc A3 = 1
Ah je pense avoir trouvé, si je fais des équivalences alors:
Mn+1[/sup = M[sup]n x M = AnM3 x M = An M4
Or M4 = 2M3 Donc Mn+1 = An x 2M3
Mais comment je peux prouver avec ça que (An) est géométrique ?
Si (An) et géométrique, connaissant A3 et A4, quelle est sa raison?
Avec ça, tu peux faire une récurrence.
Si (An) est géométrique, connaissant A3 et A4, quelle est sa raison?
Avec ça, tu peux faire une récurrence.
La démonstration reste à faire.
Si la suite est géométrique, la raison est 2.
Récurrence:
Initialisation: Facile puisque A4=2A3.
Hypothèse, An= 2 x An-1,
Reste à démontrer que, alors, An+1= 2 x An
J'ai pas du tout compris votre explication, pourquoi peut-on dire que A4 = 2A3 Alors que c'est M4= 2M3
An=2 x An-1
Donc An+1= 2 x An-1+1
An+1= 2 x An
Est-ce juste ? Et comment puis-je introduire mon hypothèse dans ma rédaction ?
Non. Pour la récurrence, en partant de
Si An=2 x An-1 alors
Reste à montrer que
En calculant le produit de Mn par M
Voilà où j'en suis
** image supprimée **conformément à 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
J'évite de te mettre tout ce qu'on à fait jusque là :
Soit Mn+1=Mn x M, Or Mn = An x M3
On a donc : Mn+1= An x M3 x M = An x M4
Or M4 = 2M3
Donc Mn+1 = An x 2M3
Hier à 20h42 tu écrivais:
Donc Mn+1 = An x 2M3
Comme on cherche An+1 tel que Mn+1 = An+1M3
On en conclu que An+1=2An
Ce qu'on voulait démonter!
Ahhh merci ! J'ai compris la démonstration. Donc on sait que An+1 = 2 x An Donc la suite est géométrique de raison 2
Mais comment en déduire la formule explicite An du coup ?
An-1=22Ahhh d'accord je savais qu'on pouvait procéder de cette manière.
Pour la dernière question, sachant que Mn = An x M3
On a juste à remplacé An par 2n-3 x A3 ?
Donc on a Mn =2n-3 x A3 x M3
Mais A3 = 1 donc Mn = 2n-3 x
Merci pour m'avoir aidé pour cette première partie, à la fin des deux j'enverrais une proposition de rédaction et j'aimerais bien connaître ton avis (mon professeur est plus pointilleux sur la rédaction que les résultats à vrai dire)
Que penses-tu de mes réponses à la partie 2 ? Le graphe est-il juste ?
Bonjour,
c ) Il y'a 3 chemins de longueur 3 allant de A à D : A-C-B-D
A-D-B-D et je ne trouve pas le dernier
AAAD ?
d) C'est la somme des coefficients de
Mais oui, ton graphe est correct.
Pour M8, dois-je faire 28-3 x M3 ?
Quoi d'autre ? comme dirait Clooney
Oui pour
Les chemins de longueur 8:
Il y en a 96 de A vers A
Il y en a 96 de A vers B
Il y en a 96 de A vers C
Il y en a 32 de C vers D
Il y en a 32 de D vers D
Combien en tout de longueur 8 ?
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