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Exercice matrices terminale S spécialité
Bonjour!
je bosse sur un dm et je "bloque" sur la dernière question j'aurai besoin d'aide, je vous explique:
Enoncé: (105 p108 Ts spécialité nouvelle collection Indice Bordas)
on appelle planche de longueur n une planche sur laquelle n carrés unité sont tracés.
On dispose par ailleurs de carrés unité ROUGES et de dominos (2 carrés accolés)? BLEUS ou VERTS.
On note U(n) le nb de façons différentes de paver une planche de longueur n avec des carrés et des dominos.
Ex: U(3) = 5
1) Vérifier que u(1)=1, u(2)=3, u(4)=11
2) Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n >= 2, on a U(n) = U(n-1) + 2U(n-2)
3) Soit la matrice A = (1 2
1 0)
Etablir pour tt n >= 2 : (U(n) A*(U(n-1)
U(n-1)) U(n-2))
4) Soit Q = (1/3)*(1 1
-1 2)
Déterminer la matrice P inverse de Q (calculatrice).
5) Calculer la matrice D = QAP
6) Déduire de ce qui précède une expression des éléments de la matrice A^n en fonction de l'entier naturel non nul n.
7) En déduire, pour tout entier naturel non nul n, une expression de U(n) en fonction de n.
J'ai donc réussi à faire toutes les questions sauf la 7) où mes résultats me semblent un peu (trop) compliqués??
Mon exercice:
1) pas besoin
2) lorsqu'on recouvre une planche de longueur n:
-soit on place d'abord un carré unité (1 seul choix de couleur) et on pave la longueur n-1 restante.
- soit on place d'abord un domino (2 choix de couleur) et on pave la longueur n-2 restante.
D'où U(n) = U(n-1) + 2 U(n-2)
3) j'ai développé mon calcul qui tombe juste.
4) P = (2 -1
1 1) vérifié à la calculatrice
5) D = QAP + (2 0
0 -1) matrice diagonale
6) D = QAP
PDQ = PQAPQ or PQ = I2
d'où: PDQ = A
-> A^n = P*D^n*Q
7) Alors c'est là que j'ai commencé à me perdre dans mes calculs ... 
j'écris donc:
A^n = (2 -1)(2^n 0) (1/3) (1 1)
(1 1)(0 (-1)^n) (-1 2)
= (1/3)*(2^(n+1) -(-1)^n)(1 1)
(2^n (-1)^n)(-1 2)
= (1/3)*(2^(n+1)+(-1)^n 2^(n+1)-2(-1)^n)
(2^n -(-1)^n 2^n+2(-1)^n )
voilà où j'en suis en espérant ne pas m'être trompée en tapant vite...
Merci d'avance!
Bonjour,
comparer avec 
Un pavage
on obtient les mêmes résultats 
et il ne restait juste qu'à conclure pour extraire de ça la seule première ligne
(en décalant les indices pour obtenir Un et pas Un+2)
Bonsoir,
Je ne comprends pas un élément :
On obtient la matrice D = 1/3 ( 2 0 )
( 0 -1 )
Mais pourquoi en passant de D à D^n on a toujours 1/3 et pas 1/3^n en facteur ?
En fait , je n'arrive pas à comprendre pourquoi , en passant de D à D^n , on élève seulement les coefficients diagonaux à la puissance n et pas 1/3 ?
De plus , c'est un détail , mais quelque chose m'échappe : on obtient au cours de l'exercice ( à la question 6 il me semble ) : A = PDQ. Seulement , lorsque je calcule le produit PDQ avec ma calculatrice ( après avoir au préalable rentrer les matrices dans ma calculette ) , je n'obtiens pas la matrice A ... Cela est dû à quoi ?
Merci d'avance !! Bonne soirée
certainement à ce que ta matrice D est fausse ...
le (1/3) il est en facteur de Q (énoncé)
quand tu calcules D = QAP tu dois si tu ne fais pas d'erreur de signe et autre obtenir
D = (2 0)
(0 -1)
avec la bonne matrice D tu devrais retomber sur tes pieds pour A = PDQ
Merci pour ta réponse !
Le problème doit venir de mes matrices :
Voici ce que j'ai obtenu :
Pour D je trouve comme vous sauf que jai 1/3 en facteur devant la matrice . C'est à dire : D = 1/3 ( 2 0
( 0 -1 ) Pourquoi cela est il faux ? C'est pour cela que je ne comprends pas pourquoi lorsque l'on passe de D à D^n , on n'eleve pas 1/3 à la puissance n et seulement les coefficients diagonaux ?
Pour P , je trouve : P = 1/3 ( 2 -1
( 1 1 )
Cela est faux également ? Je suppose que oui et je pense que 1/3 en facteur est de trop comme pour la matrice D mais je ne comprends vraiment pas pourquoi ...
comme déja dit faux
(dit dans l'énoncé et retrouvé instantanément par
Un = 1×Un-1 + 2×Un-2
Un-1 = 1×Un-1 + 0×Un-2
donnée dans l'énoncé aussi
la matrice inverse est
(donnée correctement par Morganecourreges)
c'est d'ailleurs le triple de la matrice inverse de n'est-ce pas !!
(1/3 M) × (3 × M-1) = M×M-1 = I
de la vient sans doute ton 1/3 en trop !
vérification
calcul de
il n'y a pas de facteur 1/3 dans cette matrice D
(comme indiqué correctement d'ailleurs par Morganecourreges)
et quand on calcule PDQ on doit forcément retomber sur A de par la définition même de P, D et Q
preuve demandée dans l'exo pas par le calcul des valeurs numériques du tout mais par le calcul théorique (relire le post de Morganecourreges)
le calcul numérique n'est là que pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé dans ses matrices (et qu'on sait calculer un produit de matrices).
mais peut être penses tu que (1/3)M×N = (1/3 M)×(1/3 N) ??? et donc tu rajoutes des tas de facteurs 1/3 partout ??
(kM)×N = M×(kN) = k(M×N) quelque soient les matrices M et N et le scalaire (nombre) k
Merci !
En fait , mes erreurs venaient toutes d'une matrice P fausse ! C'est à cause de cela que mes résultats étaient faux pour les questions qui suivaient .... ( c'est d'ailleurs pour cela que , lorsque je calculais le produit PDQ , je ne trouvais pas A , ma matrice P etant fausse ... )
En fait , voici le raisonnement que j'avais tenu pour P :
- jai d'abord commencé par calculer le déterminant de Q , pour demontrer que Q est inversible : det Q = 1/3 ( 2-(-1)) = 1/3.3 = 3/3 = 1 . Le déterminant etant non nul , la matrice Q est inversible .
- soit P la matrice inverse de Q . Alors : P = ( 1/det Q ) . ( 2/3 -1/3 )
( 1/3 1/3 )
Soit P = 1/3 ( 2 -1
1 1 )
D'où mon histoire de 1/3 .... Et c'est d'ailleurs pour cela que j'obtenais également 1/3 en facteur pour la matrice D ( le 1/3 de P multiplié par le 1/3 de Q donné 1/9 , ce qui donnait :
D = 1/9 ( 6 0 )
0 -3 )
=. 1/3 ( 2 0 )
0 -1 )
P = ( 1/det Q ) . ( 2/3 -1/3 )
( 1/3 1/3 )
en écrivant cela tu divises deux fois par le déterminant !
c'est soit
P = ( 1/det Q ) . ( 2 -1 )
( 1 1 )
soit
P = ( 2/det Q -1/det Q )
( 1/det Q 1/det Q )
" en écrivant cela tu divises deux fois par le déterminant ! "
Oui mais le déterminant vaut 1 !
En fait , quand j'écris : P = ( 1/det Q ) . ( 2/3 -1/3 )
( 1/3 1/3 ) ,
c'est que j'ai développé le 1/3 de la matrice Q :
Je m'explique . On a :
Q = 1/3 ( 1 1 )
( -1 2 ) , ce qui donne : Q = ( 1/3 1/3 )
( -1/3 2/3 ) .
Ainsi : P = 1/1 ( d -b )
( -c a )
P = ( 2/3 -1/3 )
( 1/3 1/3 )
P = 1/3 ( 2 -1 )
( 1 1) ...
et comme tu peux vérifier de façon triviale qu'en multipliant P par Q ça ne te donne pas une matrice unité ce calcul est faux
en fait ton erreur est dans le calcul du déterminant de Q ...
det(k×M) 
k×det(M)
Q = ( 1/3 1/3 )
( -1/3 2/3 )
det(Q) = 1/3×2/3 + 1/3×1/3 = 3/9 = 1/3
et donc 1/det(Q) = 3 et tu retombes sur tes pieds.
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