Salut,

a)
n est impair

si k est un entier naturel
alors 2k+1 est impair, on peut donc écrire n=2k+1

alors n²-1=(2k+1)²-1=4k²+4k=4k*(k+1)

si k est impair k+1 est pair donc k*(k+1) est pair
si k est pair k+1 est impair donc k*(k+1) est pair

ce qui signifie qu'on peut écrire k*(k+1)=2i avec i un entier naturel

donc n²-1=4k*(k+1)=4*2i=8i

donc si n impair n²-1 est divisible par 8


b) n est un entier naturel
1+3^n est toujours pair
si 3^n toujours impair

3^0=1 impair
3^n avec n non nul est un produit de nombre impair, 3^n est donc toujours impair
1+3^n est donc toujours pair si n est un entier naturel


c) n est un entier naturel
2^n+2^(n+1)= 2^n + 2* 2^n = 2^n*(1+2) = 3*2^n
2^n est un entier ntaurel
donc 2^n+2^(n+1)=3*2^n est divisible par 3

a)

Si n est impair, on peut écrire n = 2m + 1 avec m un entier naturel.

n² - 1 = (2m+1)² - 1 = 4m² + 4m + 1 - 1 = 4m² + 4m = 4.m(m+1)

m*(m+1) est le produit de 2 entiers consécutifs ... et donc m*(m+1) est pair (quel que soit m) puisque dans 2 entiers consécutifs il y a forcément un pair et un impair.

n²-1 = 4 * (nombre pair) ---> n²-1 est divisible par 8
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b)

un nombre impair élévé à n'importe quelle puissance (entière positive) est toujours impair. (A démontrer ?)

donc 3^n est impair

et 1 + 3^n est pair
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c)

2^n + 2^(n+1) = (2^n) * (2 + 1) = 3 * 2^n

et donc 2^n + 2^(n+1) est divisible par 3
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Recopier sans comprendre est inutile.

Bonjour,

a)Si n est impair, alors il existe k entier tel que n = 2k+1
Donc n²-1 = (2k+1)²-1 = 4k²+4k+1 - 1 = 4k²+4k = 4k(k+1)
Mais un des deux nombres k ou k+1 est nécessairement pair, donc k(k+1) est pair, donc il existe m entier tel que k(k+1) = 2m
Et finalement n²-1 = 4*2m = 8m

b)3ⁿ est un produit de nombres impairs, il est toujours impair, donc 1+3ⁿ est toujours pair

c) 2ⁿ+2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ(1+2) = 2ⁿ*3

Bonjour J-P

Salut LeHibou.

Bonjour.
a) On remarque que n²-1 = (n-1)(n+1).

soit n un entier naturel non nul mq
n2 - 1 n'est pas divisible par 8
que faire svp

>sara2001

Il semble que tu profites  d'un exercice pour poser le tien...
n² veut  dire puissances de 2   genre 4  8 16 64 256  2048 ...
Elles sont toutes paires .
En soustrayant 1 à un pair ,on obtient un....
Non divisible par 8.

heu...
Plutôt des carrés  donc ne pas tenir compte de ma réponse...
au passage 3²-1 est divisible par 8

Bonjour dpi,
Je découvre à la lecture de cet échange que J-P s'est mis au vert.
Il y a en effet longtemps que je n'avais pas vu de ses interventions...

Mais il est toujours présent sur l'île de la physique!

>sanantonio312

Le temps passe et on se rend compte de l' usure ...
Que de noms ne s'affichent plus , même en noir.