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Niveau maths sup
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exercice niveau maths sup sur la géométrie

Posté par mimi66 (invité) 31-10-04 à 12:36

Bonjour à tous!alors voilà, il s'agit d'un exercice de concours ENSAIS(architecture) de 1995. Je suis en maths sup\'.Voici l\'énoncé: On se place dans l\'espace E3 rapporté à un repère orthonormé direct(O,i,j,k) et on considère les points A(1,-1,0) B(2,0,1),C(-1,1,0) et D(-2,0,1) Soient p et k deux réels; on désigne par P le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients (1-p)et p et par Q le barycentre des points C et D affectés respectivement des coefficients (1+p) et -p Enfin on appelle G le barycentre des points P et Q affectés respectivement des coefficients(1+k)/2 et (1-k)/2 1)calculer en fonction de p les coordonnées des points P et Q et en fonction de p et k,les coordonnées du point G 2)a) On fixe p. Montrer que l\'ensemble des points G obtenus lorsque k décrit R est une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur b)On fixe k.Montrer que l\'ensemble des points G obtenus lorsque p décrit R est une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur c)Montrer que pour tous réels k et p les deux droites déterminent un plan dont on donnera une équation cartésienne 3)Montrer que l\'ensemble (E) des points G obtenus quand(p,k) décrit R² est l\'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l\'équation x²-y²=4z 4)Déterminer les intersections de (E) avec les plans d\'équations respectives x=0 et z=0. En rapportant chacun de ces plans à un repère orthonormé simple, construire sur deux figures différentes les intersections obtenues. 5)a) On considère le plan(Pi) passant par K(0,0,1) et de base (i,j) Donner une équation cartésienne, dans le repère (K,i,j) de (Pi), de l\'intersection de (Pi) et de (E) b)Donner une équation cartésienne de l\'intersection de (E) et de (Pi) dans le repère (K,u,v) où u=(1/racine de 2)(i+j) et v=(1/racine de 2)(-i+j). Représenter graphiquement cette intersection. Interpréter géométriquement le changement de repère effectué. 6)Soit K\' le symétrique de K par rapport à O.ON appelle (delta) la droite passant par K et de vecteur directeur j et (delta prime) la droite passant par K prime et de vecteur i. Montrer que (E) est l\'ensemble des point équidistants de dela et delta prime.
J'ai du mal à faire les questions 4 5 et 6 donc si qqun peut m'aider..
Merci d'avoir lu ma demande même s'il n'y a ausune réponse.

Posté par
dad97 Correcteur
re : exercice niveau maths sup sur la géométrie 31-10-04 à 12:58

Bonjour mimi66,

Un conseil quand tu postes aères tes messages car là si tu ne souhaites avoir aucune réponse tu es bien parti :


Bonjour à tous!

alors voilà, il s'agit d'un exercice de concours ENSAIS(architecture) de 1995.
Je suis en maths sup.Voici l'énoncé:

On se place dans l'espace E3 rapporté à un repère orthonormé direct(O,i,j,k) et on considère les points A(1,-1,0) B(2,0,1),C(-1,1,0) et D(-2,0,1)

Soient p et k deux réels;
on désigne par P le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients (1-p)et p
et par Q le barycentre des points C et D affectés respectivement des coefficients (1+p) et -p

Enfin on appelle G le barycentre des points P et Q affectés respectivement des coefficients(1+k)/2 et (1-k)/2

1) calculer en fonction de p les coordonnées des points P et Q
et en fonction de p et k,les coordonnées du point G

2)a) On fixe p. Montrer que l'ensemble des points G obtenus lorsque k décrit R est une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur


2)b) On fixe k.Montrer que l'ensemble des points G obtenus lorsque p décrit R est une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur

2)c) Montrer que pour tous réels k et p les deux droites déterminent un plan dont on donnera une équation cartésienne

3) Montrer que l'ensemble (E) des points G obtenus quand(p,k) décrit R² est l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient l\équation x²-y²=4z

4) Déterminer les intersections de (E) avec les plans d'équations respectives x=0 et z=0.
En rapportant chacun de ces plans à un repère orthonormé simple, construire sur deux figures différentes les intersections obtenues.

5)a) On considère le plan(Pi) passant par K(0,0,1) et de base (i,j)
Donner une équation cartésienne, dans le repère (K,i,j) de (Pi), de l'intersection de (Pi) et de (E)


5)b) Donner une équation cartésienne de l'intersection de (E) et de (Pi) dans le repère (K,u,v) où u=(1/racine de 2)(i+j) et v=(1/racine de 2)(-i+j).

Représenter graphiquement cette intersection.

Interpréter géométriquement le changement de repère effectué.

6) Soit K\' le symétrique de K par rapport à O.
ON appelle (delta) la droite passant par K et de vecteur directeur j et (delta prime) la droite passant par K prime et de vecteur i.
Montrer que (E) est l'ensemble des point équidistants de dela et delta prime.


J'ai du mal à faire les questions 4 5 et 6 donc si qqun peut m'aider..
Merci d'avoir lu ma demande même s'il n'y a ausune réponse.


C'est quand même plus lisible comme cela, non ?

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : exercice niveau maths sup sur la géométrie 31-10-04 à 13:24

Eléments de correction :

4. Intersection de (E) et du plan x=0
on fait x=0 dans l'équation de (E) on obtient y²=-4z cela ressemble fortement à une parabole contenu dans le plan (O, Oy,Oz) non?

Intersection de (E) et du plan z=0
on fait z=0 dans l'équation de (E) on obtient x²=y² ce qui ressemble donne deux droites contenues dans le plan (O,Ox,Oy)

5.Dans le repère (K,i,j,k) le plan (Pi) a trivialement pour équation z=0
Mais attention (E) n'a pas la même équation dans (O,i,j,k) et dans (K,i,j,k).
Ces deux repères se déduise l'un de l'autre par une translation de vecteur \vec{k}
Donc dans (K,i,j,k) l'équation de (E) sera x²-y²=4(z-1)
Et donc l'intersection de (E) et de (Pi) dans (K,i,j) sera (en faisant z=0) l'ensemble des points vérifiant x²-y²=-4 (donc, à priori des hyperboles)

(K,u,v) se déduit de (K,i,j) en posant X=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) et Y=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x+y) il suffit d'inverser la matrice que l'on obtient pour exprimer x et y en fonction de X et de Y puis de remplacer dans l'équation obtenu ci-dessus pour avoir l'équation de l'intersection de (E) et de (Pi) dans (K,u,v).

l'interprétation géométrique se fait en observant la matrice de changement de repère c'est une rotation de pi/4 ou de -pi/4 j'ai pas regardé en détail.

6. Comme je n'ai fait aucun calcul pour l'instant j'ai du mal à voir ce qu'il faut faire.

En n'espérant pas avoir écrit trop de bêtises.

Salut

Posté par mimi66 (invité)re : exercice niveau maths sup sur la géométrie 31-10-04 à 14:19

oups excusez moi!merci beaucoup d'avoir aérer mais ce n'est pas à vous de perdre votre temps pour aérer c'est à moi!vraiment excusez moi! et merci beaucoup de m'avoir répondu aussi vite.

Posté par mimi66 (invité)re : exercice niveau maths sup sur la géométrie 31-10-04 à 17:56

Il y a un petit problème...Je n'ai pas encore vu les matrices...Enfin, merci encore beaucoup pour ces éléments de correction très détaillés et pour la rapidité de réponse!



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