bonjour

faudrait préciser que P est sur les abscisses et Q sur les ordonnées, sinon c'est simple, elles concourrent en O

si tu ne vois rien d'autre tu peux toujours procéder de façon analytique avec les équations

tu es en prépa quoi ?

Comment voyez-vous qu'elles concourent en O ? J'ai fait plusieurs situations hier et l'intersection des droites n'a jamais été O

Je suis en prépa CPGE !

J'ai essayé de résoudre le système formées par les équations cartésiennes des droites (AQ), (OM) et (BP) sans résultat. J'ai aussi essayé une histoire de bissectrices : si les points A, B et M formaient un triangle inscrit dans le cercle. Comme chaque droite passe par un sommet du triangle. Mais là encore, sans résultat.

je ne sait pas si tu lis attentivement ce que j'écris

tu ne précises pas où sont les points P et Q .... !

P est sur quel axe ?

*CPGE ATS

Pardon !
Mon énoncé ne le précise pas donc j'imagine que c'est les axes respectifs. Donc P est sur l'axe des abscisses et Q est sur l'axe des ordonnées

c'est ce que je dis ! si c'était le contraire ce serait simple

bref

prends M(1+cos(t) ; 1+sin(t))
avec t différent de pi et 3pi/2 modulo 2pi
et écris tes équations...

en fait t différent de 0 modulo pi/2 sinon P et Q ne sont pas définis

(OM): (-1-sin(t))x+(1+cos(t))y=0
IM (cos(t); sin(t)) donc D: cos(t)x+sin(t)y-cos(t)-sin(t)-1=0

J'ai un peu de mal

Et comme P et Q sont sur D on peut définir leurs coordonnées

Bonjour
Vu l'exercice, on est amené à se poser la question suivante: pourquoi avoir choisi 2 tangentes perpendiculaires?
Il me semble bien que c'est pour rendre l'exercice plus facile à résoudre.
Il serait bien de vérifier que la propriété reste vraie pour 3 tangentes qcq et que ça reste encore vrai pour une conique quelconque.

Bonsoir !
Théorème de Céva : est négatif et sa valeur absolue est 1 puisque .
Les tangentes orthogonales ne servent à rien, et cela reste vrai pour une conique quelconque.

Bonjour,

J'en ai entendu parler du théorème de Ceva mais le problème c'est que je ne l'ai pas vu, alors j'aurais voulu faire autrement 🥵

salut,
demande à ton prof si tu peux utiliser Ceva

Bonjour
Il n'y a pas besoin de connaître le th de Ceva pour faie l'exercice et même pour le généraliser.  Le tout est de bien mener ses calculs.  
L'équation du cercle  (x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 1 =0 et la tangente au cercle en un point
M0=(x0,y0)  a pour équation  (x0-1) x+(y0-1)y+1-x0-y0=0.
Il n'est pas difficile  de calculer les coordonnées de P et Q et ainsi les droites
QA  et PB  ont pour équation respectives: qa(x,y)=(x0+y0-1)x+(y0-1)y +(1-x0-y0)=0
et pb(x,y)=(1-x0) x +(1-x0-y0)  y+(x0+y0-1)=0.

Evidemment la droite d'équation qa(x,y)+pb(x,y)=0  est une droite concourante avec (QA) et (PB)
mais  qa(x,y)+pb(x,y)=0  se simplifie en y0 x-x0y=0  , c'est la droite qui passe par O et M,
cqfd  

Bonjour
J'avais essayé de trouver P et Q après avoir trouver la tangente de M(x;y) mais ça ne donnait rien de tel. Je vais refaire les calculs. Je me suis planté c'est sur et certain. Merci beaucoup pour votre aide  !

Mais as tu trouvé la même équation que moi?  Si c'est le cas il n'est pas difficile de trouver P et Q.
Par exemplle P=(x_p,0)    et on remplace dans l'équation ...  

Je n'ai pas encore eu le temps de le faire.
Là, je viens de m'y mettre.
Pour l'équation de la droite D, soit la tangente en M : (x0-1)x+(y0-1)y-x0-y0+2=0
Après comme P(xp,0) , ça donne (x0-1)x-x0-y0+2=0
<=> x = (x0+y0-2) / (x0+1) = 1 + (y0-1) / (x0-1)
Puis comme Q(0,yq), ça donne y= 1 + (x0-1) / (y0-1)
Maintenant je vais trouver les équations des droites

Avec quelques souvenirs sur les coniques, voici ce qu'on peut faire pour généraliser.

Si est l'équation d'une conique, en notant il existe une matrice symétrique telle que .
Si sont trois points de la conique, en notant la tangente en a pour équation .

Soit l'intersection (éventuellement rejetée à l'infini) des droites toute droite passant par a une équation de la forme et la droite aura pour équation .

En notant que on voit alors que la somme des polynômes   est identiquement nulle, ce qui prouve que les droites sont concourantes ou parallèles.

Merci beaucoup ! Mais c'était bien trop compliqué pour moi luzak 😥

Mais j'ai fini par répondre correctement à l'exercice. En utilisant (xo-1)^2+(yo-1)^2=1 comme M est sur le cercle. Donc xo^2+yo^2=  xo + yo -2 que j'ai inséré dans la dernière équation pour montrer que le point était sur la droite !