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exercice nombre complexe

Posté par
sergey 19-04-15 à 17:19

Bonjour à tous!
J'aurais aimé que vous m'aidez à faire cet exercice svp.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 dont un argument est \frac{pi}{2}.
On considère un filtre dont la fonction de transfert T est définie sur l'intervalle ]0; +\infty[ par:
T(w) = \frac{-iwk}{1-i\frac{w}{2}}
Le nombre k est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1.
En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert H est définie sur: ]0; +\infty[ par:
H(w) = (T(w))3.
1. On note r(w) le module de H(w).
On a donc r(w) = |H(w)|.
Montrer que le module de T(w) est \frac{kw}{\sqrt1+\frac{w²}{4}}
En déduire r(w).
Justifier qu'un argument de (-iwk)3 est \frac{pi}{2}.
Justifier qu'un argument de {1-i\frac{w}{2}} est arctan (\frac{w}{2})
En déduire qu'un argument de H(w), noté (w), est défini sur ]0; +\infty[ par:
(w) = \frac{pi}{2} + 3 arctan (\frac{w}{2}).
On note la dérivée ' de la fonction . Calculer '(w).
Déterminer le signe de ' sur l'intervalle ]0; +\infty[.
Déterminer les limites de la fonction en 0 et en +\infty.
Tracer le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle ]0; +\infty[.
Dans cette dernière question, on se place dans le cas où k = 0.9.
Lorsque w décrit l'intervalle ]0; +\infty[, le point d'affixe H(w) décrit une courbe C.
Ci-dessous, la courbe C est tracée dans le plan complexe.
On note w0 la valeur de w pour laquelle le module de H(w) est égal à 1.
Placer précisément le point M_0 d'affixe H(w_0) sur le graphique.
Calculer une valeur arrondie à 10-2 près du nombre 10, puis de (w_0).

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Flewerre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 17:26

Bonjour,

as-tu au moins essayé de commencé l'exercice ?
La première question déjà n'est que du calcul, tu n'as pas besoin de nous pour ça.

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 17:27

je viens juste de commencer la.

Posté par
Flewerre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 17:30

Tu nous diras quand tu auras besoin d'aide, mais merci de ne pas poser l'exercice pensant qu'on va le faire pour toi..

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 17:48

Pour la première question, Module d'un produit = produit des modules c'est bien ça? Donc ça serai: |T(w)| = |-i|*|w|*|k|/|1|*|-i|*|w/2| ?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:14

k est un nombre réel donc on le place avant la partie imaginaire ça fait kw \frac{-i}{-i} ça fait 0 et en bas 1^2 + \frac{w^2}{2} = 1 + \frac{w^2}{4}
\frac{kw}{\sqrt1+\frac{w^2}{4}}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:30

Alors H(w) = \frac{(kw)^3}{\sqrt{1+{w^5}{12}}} ?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:38

Pardon, H(w) = \frac{(kw)^3}{\sqrt{1+\frac{w^6}{12}}}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:48

Donc, \frac{(k^3)*(w^3)}{1+\frac{w^3}{8}} = \frac {k^3}{9} ?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:55

r(w) = \frac{k^3}{9}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 18:58

J'ai mis cet exercice pour que quelqu'un puisse me corriger.

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 19:29

Ah non, je me suis trompé, c'est:
T(w)=\frac{-iwk}{1-i\frac{w}{2}} donc H(w)=\frac{(-iwk)^3}{(1-i\frac{w}{2})^3} ce que fait:
\frac{(-i^3)*(w^3)*(k^3)}{(1^3)-(i^3)*\frac{w^3}{2^3}} = \frac{1-i(wk)^3}{1-1-i*\frac{w^3}{8}} = \frac{1-i(wk)^3}{-i*\frac{w^3}{8}} = \frac{(1wk)^3}{-i\frac{w^3}{8}}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 19:31

\frac{1k^3}{-i8}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 19:43

r(w) = \frac{1k^3}{\sqrt{(-i^2)*8^2}} = \frac{k^3}{64}

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 19:44

Est ce que c'est bien ça? Y a t-il quelqu'un pour me corriger svp?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 19-04-15 à 20:19

C'est plus tôt: \frac{k^3}{16} je viens de recalculer. Mais dites-moi svp si j'ai bien fait ou pas?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 14:15

En suite un argument de:   \\ (-iwk)^3 = \frac{\pi}{2}

z_1=(-iwk)^3   a = 0, b = wk \\ \\ |z_1|= \sqrt{0^2+((wk)^3)^2}=wk \\ cos\theta = \frac{0}{wk} = 0 \\ sin\theta = \frac{wk}{wk} = 1
En suite un argument de:
1-i\frac{w}{2}  

a= 1, b= \frac{w}{2} \\ \\ z_2=1-i\frac{w}{2}   \\ \\ |z_2|= \sqrt{1^2+i^2\frac{w^2}{2}} = 1-1\frac{w}{2} = \frac{w}{2} \\ cos\theta = \frac{1}{\frac {w}{2}} \\ sin\theta = \frac{w}{2\frac{w}{2}} = 1

est ce que quelqu'un peut me corriger?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 14:39

En suite je ne sais plus trop comment trouver le +3 arctan. Quelq'un peut m'aider?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 16:26

J'essaie comme ça:


3\frac{\frac{w}{2}'}{\frac{w}{2}^2}+1 = 3\frac{1}{\frac{w^2}{4}}+1
Donc:
\phi'(w) = 3\frac{1}{\frac{w^2}{4}}+1 ?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 16:27

Et donc signe positif

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 18:42

Ah non, j'ai dis n'importe quoi...
\phi'(w) = 0

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 18:43

Mais 0 c'est positif et négatif en même temps c'est bien ça?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 20-04-15 à 19:49

Personne veut me corriger?

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 21-04-15 à 11:44

Bonjour y a t-il quelqu'un ici?

Posté par
sergeyà l'aide!!! 21-04-15 à 13:44

Aidez-moi svp!!!

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 21-04-15 à 19:59

Heeeeeoooo

Posté par
sergeyre : exercice nombre complexe 22-04-15 à 15:55

J'ai tout fait, j'aurai juste aimé que quelqu'un me corrige s'il vous-plaît...


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