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Niveau seconde
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Exercice nombre d'or

Posté par
mathos67
23-02-17 à 19:51

Bonjour, je suis en seconde, j'ai un exercice de math à faire pour la rentrée mais je ne comprend pas grand chose, sauf la question a).

Enoncé :
Le nombre d'Or aussi appelé "divine proportion" est défini dans un rectangle d'Or : c'est à dire un rectangle tel que si on lui enlève un carré construit sur une largeur, on obtient de nouveau un rectangle d'Or.
L'objectif est de déterminer alpha = longueur du rect/largeur du rect = L/l = nombre d'or.

a) Soit ABCD un rectangle de longueur L=AD et de largeur l=AB. Construire le carré ABFE de coté l.
b) Ecrire une égalité vérifiée par L et l, qui traduise le fait que ABCD et EDCF sont des rectangles d'Or.
c) En déduire que (L/l)² - L/l -1 =0.
d) Montrer que alpha²-alpha-1=(alpha- (1+racine de 5)/2)(alpha -(1-racine de 5)/2)/
e) En déduite la valeur approchée de ce nombre d'Or et dessiner un rectangle d'Or de longueur 10cm.

Je n'ai reussi que la question a).
Pouvez-vous m'aider SVP?

Merci.
Appoline.

Posté par
kenavo27
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 20:37

Bonsoir
Exercice déjà traité
Fais des recherches sur le site

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 20:42

Merci de ta réponse.
J'ai pourtant cherché avant de poster...
Je ne trouve pas, pourrait-tu m'envoyer un lien?

Merci d'avance !

Posté par
Priam
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 20:59

b) Il suffit d'écrire que, pour l'un et l'autre des rectangles ABCD et EDCF, le quotient  longueur/largeur  a la même valeur (laquelle est égale au nombre d'or).

Posté par
kenavo27
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 21:02

Quel le format de chaque rectangle?

Posté par
kenavo27
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 21:10

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 21:11

J'ai un rectangle ABCD de 6 de longueur et  2 de largeur. J'ai donc EDCF qui vaut 4 en longueur et 2 en largeur.

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 21:12

Le soucis est que mes deux quotient n'ont pas la même valeur.
Pour ABCD je trouve 6/2 = 3 et pour EDCF je trouve 4/2 = 2

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 21:42

Bonjour,

Citation :
J'ai un rectangle ABCD de 6 de longueur et 2 de largeur

d'où sors tu ces valeurs loufoques ?
certainement pas de l'énoncé ...

on trace un rectangle "un peu quelconque" (sans aucune dimensions connues vraiment)
pour tracer une figure "de principe" (dont les proportions ne sont pas respectées en quoi que ce soit, comme pour toutes les figures "de principe")
et ses dimensions sont AD écrit AD (ou L) et AB écrit AB (ou l)

tout calcul entièrement et uniquement en littéral et rigoureusement aucune valeur numérique

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:40

Ahhh d'accord ! je n'étais pas parti là dessus...
Du coup la réponse à la question b) est évidente !

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:44

Vous pouvez ma guider pour la c) ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:46

tout dépend de ce qu'on considère comme "évident"
que trouves tu ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:47

la c) c'est développer et écrire autrement la relation que tu as dû trouver à la b) ...

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:48

Bah du coup à la b) j'ai mis :

AD/AB = ED/DC = L/l = alpha

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 22:58

Mais je ne vois pas comment développer ceci, surtout avec un carré...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:05

certes

mais ce n'est pas ça qu'on demande dans la question b) !!

il faut tenir compte que CD = AB = l
et que ED = AD - AE = L-l

Exercice nombre d\'or

à quoi diable servirait sinon de préciser que ABFE est un carré !!

il faut écrire AD/AB = ED/DC en terme de L et l et de rien que L et l
il ne doit rester aucun nom de point dans la relation demandée "entre L et l" (et pas entre L, l et autres choses)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:09

en plus j'ai recopié ton erreur, ce n'est pas AD/AB = ED/DC mais
Longueur de ABCD sur largeur de ABCD = longueur de DEFC sur largeur de DEFC

la longueur de DEFC n'est pas ED

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:11

donc AD/AB = ED/DC   <=>  L/l = L-l/l ???

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:13

donc en inversant ED/DC par DC/ED ???

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:31

oui et avec ajout de parenthèses obligatoires quand on écrit des fractions sur une seule ligne .../...

L-l/l veut die L -\dfrac{l}{l} = L - 1 et pas du tout \dfrac{L-l}{l} qui s'écrit (L-l)/l parenthèses obligatoires.

et pareil pour l/(L-l), parenthèses obligatoires

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:35

Merci beaucoup, donc L/l=(L-l)/l
C'est ce que je dois développer à la question c) ? comment?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:44

non.

AD/AB = DC/ED
longueur/largeur pour chacun des deux rectangles)
AD = L
AB = l
DC = l
ED = L-l

L/l = l/(L-l)

développer = produit en croix
puis diviser par l²

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:49

Merci !
Ducoup avec le produit en croix j'obtient L(L-l) = l². Est-ce juste?

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:50

L²-Ll=l² *

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:52

oui continues (j'ai dit quoi faire ensuite)

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 23-02-17 à 23:55

ducoup ca nous fais L²-Ll-l²=0, si je me trompes pas.
en divisant par l² : L²/l² - Ll/l² -l²/l² = 0 et donc (L/l)² - L/l -1 = 0 !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:17

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:18

Merciiiiiiiii!
Vous pouvez également me guider pour la d) ? svp

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:21

développer des deux côtés pour vérifier que c'est pareil.

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:23

J'y avais penser, mais comment faire pour partir d'un côté ou l'on a que des expressions littérales, pas de valeurs, et aboutir donc à l'autre côté ou il y a des valeurs ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:32

de l'autre coté c'est aussi une expression littérale (il y a des alpha dedans)
juste que les "coefficients" sont "un peu compliqués"
ce qui ne change rien à la façon de développer un produit de la forme ( - truc)( - machin)

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:37

Je n'arrive pas...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:51

( - truc)( - machin) = - (truc + machin) + trucmachin

dans ce développement on est donc amené à calculer :

truc + machin = (1+racine de 5)/2 + (1-racine de 5)/2 = ... (simplifier)

et trucmachin = (1+racine de 5)/2 (1-racine de 5)/2 = ...
apparait là dedans une identité remarquable (a+b)(a-b) qui permet aussi de simplifier cette valeur.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 00:53

* ( - truc)( - machin) = 2 - (truc + machin) + trucmachin

(exposant 2 oublié dans ce fatras de balises)

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 01:02

donc j'ai trouver truc + machin =1
et truc x machin = -1

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 01:08

donc c'est fait.
ça fait bien 2 - 1 + (-1)

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 01:14

Merci beaucouuuup !!!
Et comment dois-je faire pour déduire la valeur approché de alpha ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 01:23


c'est résoudre 2 - -1 = 0

(parce que c'est L/l et que (L/l)² - L/l -1 = 0)

c'est à dire
résoudre l'équation "produit nul" ( - truc)( - machin) = 0
dont les solutions sont = truc et = machin

reste à savoir laquelle des deux
l'une est < 1 l'autre > 1
alors c'est laquelle des deux ?

Posté par
mathos67
re : Exercice nombre d'or 24-02-17 à 01:29

c'est (1+racine de 5)/2 !!!
Merci beaucoup à vous !



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