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Niveau Prepa (autre)
exercice prépa dérangement
Posté par gaukouu
Bonjour, je suis en prépa et j'ai un exercice sur le dérangement et je ne comprends rien vu que je n'ai jamais fait ça, alors je cherche une âme charitable pour m'expliquer cela
l'énoncé est le suivant :
Soit n et p deux entiers tels que p>= n
On range p boules, toutes de couleurs différentes, dans n cases toutes semblables
Soit D(p,n) (avec le p au dessus du n) le nombre de rangements possible tels qu'aucune case ne soit vide
1. Montrer que D(p,n)= nD(p-1,n) + D(p-1,n-1) avec toujours le p-1 au dessus de n et n-1
2. Calculer pour p>=1, D (p,1)
2.2 Calculer pour n>=1 D(n,n)
2.3 Calculer pour p>= 2 D(p,2) (on obtiendrait une suite arithmético-géométrique d'après l'enoncé)
2.4 Démontrer par récurrence sur p que quelque soit p >= 3 D(p,3) = 1/2 (3^p-1 + 1)- 2^p-1
2.5 Démontrer que quelque soit p >= 3 D(p, p-1) = (p(p-1))/2
merci vraiment pour celui ou celle qui va m'aider car je ne comprends vraiment mais absolument rien
salut
si on symbolise une séparation de cases par le symboles | et b_i par une boule (puisqu'elles sont distinctes) tu dois écrire tous les mots de la forme :
b_i ...b_j| b_p ... b_q |... |... | ... |
en ayant toujours une boule entre deux | (puisque les cases doivent contenir au moins une boule)
ou encore tu dois placer déjà une boule dans chaque case ... puis tu répartis les autres boules comme tu veux ...
soit tu as rangé p - 1 boules dans les n cases sans laisser de cases vides et alors tu peux placer la dernière boule ... où tu veux !!
soit tu as placé p - 1 boules dans n - 1 cases et alors nécessairement tu places la dernière boule dans ...
en respectant la consigne :
le nombre de façons de ranger p - 1 boules dans n cases est D(n, p - 1) et il te reste une boule à placer
le nombre de façons de placer p - 1 boues dans n - 1 cases est D(n- 1, p - 1) et il te reste une boule à placer
...
du coup comme il me reste juste une boule a placer ca veut dire que le tout donne D(n,p) si j'ai compris puisqu'il y aura une boule en plus sur p ?
et j'en fais quoi du n en facteur de D(p-1,n) ?
je suis vraiment désolé hein mais j'ai l'air d'un débile
carpediem @ 29-11-2020 à 14:49
en respectant la consigne (aucune case vide) :
le nombre de façons de ranger p - 1 boules dans n cases est D(n, p - 1) et il te reste une boule à placer : tu as rangé p - 1 boules dans les n cases sans laisser de cases vides et alors tu peux placer la dernière boule ... où tu veux !!
le nombre de façons de placer p - 1 boues dans n - 1 cases est D(n- 1, p - 1) et il te reste une boule à placer : tu as placé p - 1 boules dans n - 1 cases sans laisser de cases vides et alors nécessairement tu places la dernière boule dans ...
en respectant la consigne (aucune case vide) :
le nombre de façons de ranger p - 1 boules dans n cases est D(n, p - 1) et il te reste une boule à placer : tu as rangé p - 1 boules dans les n cases sans laisser de cases vides et alors tu peux placer la dernière boule ... où tu veux !!
le nombre de façons de placer p - 1 boues dans n - 1 cases est D(n- 1, p - 1) et il te reste une boule à placer : tu as placé p - 1 boules dans n - 1 cases sans laisser de cases vides et alors nécessairement tu places la dernière boule dans ...
ahhh d'accord, pour la suite je fais comment pour calculer dcp pour le 2, y'a une formule ? par exemple faut que je trouve une suite arithmético géométrique pour D(p,2) je fais comment pour ça et pour les autres ? (je suis trop nul c'est grave)
pour 2/ essaie en donnant une valeur à p et en dessinant une case ... deux cases .... trois cases ...
salut
pour D(p,2) ( p boules , 2 cases )
case 1 , case 2
1 p-1
2 p-2
3 p-3
....... ...
p-1 1
donc D(p,2) = p-1
et puis tu es sur que le titre ne serait pas plutôt nombre de surjections , parce que le calcul des dérangements c'est le nombre de cas pour lequel on a aucun point fixe