Deux enceintes E1 et E2 contiennent à elles deux,un grand nombre N de molécules de paradichlorobenzène. On les met en communication à l'instant t0.
A chacun des instants t1,t2,...tn... régulièrement espacés, une molécule change d'enceinte, chaque molécule ayant la même probabilité d'être celle, concernée par le changement. On note p our tout entier naturel i,Xi la variable aléatoire qui compte le nombre de molécules dans l'enceinte E1 au temps ti.
Onsupp ose que X0 prend, avec la probabilité 1, la valeur x0 élément de {0,...,N} et l'on pose Yi=Xi+1?Xi.
1.Déterminer la probabilité que X2 prenne la valeur x0 ,P(X2=x0).
2.En considérant Yn  ,déterminer pour tout entier naturel n,E(Xn).
Calculer la limite de E(Xn),lorsque n tend vers +?.
3.On suppose dans cette question que les deux enceintes contiennent initialement le même nombre de molécules :x0=N2 (on suppose ici N pair) Soit p un élément de N ?tel que p < x0.Montrer que
(X2p=x0)?((2p)!/p!^2)*(1/2+p/N)^2p
.
4.Soitp un élément de N?.
Déterminer la limite de P(X2p=x0), lorsque l'on laisse tendre N vers+?
Interpréter ce résultat.

****titre modifié***