Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Niveau première
Partager :

Exercice probabilité-suites

Posté par
MariamD
27-02-21 à 18:26

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM.

Énoncer: Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeur.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est 0,3.
Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est 0,8.
Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les événements:
•Tn: «le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage.»
•Pn: «le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage.»

1.On considère alors la suite (Un)définie pour tout entier naturel n_>1 par:
Un= p(Tn) où p(Tn) est la probabilité de l'évènement Tn.

a) Donner les valeurs des probabilités conditionnelles p(T2)sachantT1, p(T2)sachantP1.

b)Montrer que p(T2)=1/4

c)Démontrer que pour tout entier n_>1, Un+1=0,1Un+0,2 (Faire un arbre pondéré)

2.On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n_>1 par: Vn=Un-2/9

a)Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 1/10.

b)Exprimer Vn en fonction de n. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

c)A l'aide la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (Un) ( aucune démonstration n'est demandée)
Interpréter ce résultat.

Merci pour votre aide

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 18:34

bonsoir

qu'as-tu commencé ?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 18:56

Bonsoir,
Le 1 a) pour l'instant

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 18:57

qu'as-tu trouvé ?

pour 1b) utilise les probabilités totales

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:01

pour 1b) si tu as des difficultés tu peux faire un petit arbre pondéré au brouillon, pour les 1er et 2ème passage.

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:05

Pour le 1 a) j'ai trouvé 0,3

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:07

pT1(T2) = 0.3    oui

et  pP1(T2) = ...?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:14

b) 0,64

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:15

1b) non, l'énoncé t'indique que tu dois trouver 1/4, soit 0.25

montre toujours le détail de tes calculs pour je puisse t'aider

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:40

Je bloque un peu, j'ai trouvé
0,3*(0,8*0,5)/0,5=0,24
Avec T2=0,3
            P1=0,5

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:43

0,3*(0,8*0,5)/0,5=0,24  
non non
à quoi correspondrait ton calcul ?

Avec T2=0,3 ---- faux

P1=0,5 ----  ceci est exact

tu as fait l'arbre des 2 premiers passages ?

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 19:51

coup de pouce

Exercice probabilité-suites

et révision de cours, si besoin Probabilités conditionnelles et indépendance

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 20:15

J'avais eu bon à l'arbre j'avais juste mal utilisé la formule
0,5*((0,5*0,3)/0,3)=1/4

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 27-02-21 à 20:26

non ce calcul est faux

étudie la fiche, au paragraphe probabilités totales.
(tu en auras aussi besoin à la question 1c)

p(T2) = p(T1 T2) + p(...? ...?) = ....?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 10:36

p p1(T2)=0,2
b) p(T2)= p(T1T2)+p(P1T2)
                 =p(T1)*p t1(T2)+p(P1)*p p1(T2)
                 = (0,5*0,3)+(0,5*0,2)
                 = 0,25

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 10:57

Pour le c) j'ai fais l'arbre mais je vois pas comment justifier.

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 12:37

bonjour MariamD

tes réponses de10h36 parfait !

1c) montre ton arbre pour voir (tu peux insérer la photo de l'arbre seul)
je t'aiderai à continuer.

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 12:41

Arbre pondéré:

Exercice probabilité-suites

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 12:46

cet arbre aide à répondre à la question 1b)
mais pas à la 1c)

==> pour 1c) on sort du cas particulier (du démarrage : passages 1 et 2),
et on raisonne pour un n quelconque:

tes 2 branches de départ seront donc  Tn et Pn...

ps : erreur de calcul sur ton arbre précédent, au niveau de la proba de P2 sachant T1

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 12:54

MariamD
je vais m'absenter pour le repas, mais je reviens ensuite lire tes réponses/questions.
bosse bien
a+

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:10

J'ai refais l'arbre pondéré
Ensuite avec la formule des probabilités totales j'ai trouvé
p(Tn+1)=p(TnTn+1)+p(PnTn+1)
                 =0,3*Un+1-Un*0,2
                 =0,3Un+0,2-0,2Un
                 =0,1Un+0,2

Exercice probabilité-suites

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:15

après un bon torticolis ,
je valide la réponse,  et comme p(Tn+1) = Un+1, on a bien
Un+1 = 0,1Un+0,2

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:23

MariamD @ 28-02-2021 à 14:10

... p(Tn+1)=p(TnTn+1)+p(PnTn+1)
                 =0,3*Un+ (1-Un)*0,2   n'oublie pas les ( ) sinon c'est faux
                 =0,3Un+0,2-0,2Un
                 =0,1Un+0,2

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:24

Ah oui

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:26

pour la suite, tu as une idée ?

la suite (Un) : il s'agit d'une suite arithmético-géométrique, souvent vue dans les exercices;
peut-être en as-tu une en exemple dans le cours ?
le principe est toujours le même...

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:28

Oui oui,  je vois ce que c'est.

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:47

On sait qu'une suite géométrique est égale à Vn*q
Vn=Un-2/9 Un=Vn+2/9

Vn+1=Un+1-2/9
            =0,1Un+0,2-(2/9)
            =0,1Un-1/45
            =0,1(Vn+2/9)-1/45
            =0,1Vn+0,1*2/9-(1/45)
            =0,1Vn
            =Vn*q

Donc (Vn) est une suite géométrique de raison q=0,1=1/10 .
            

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:49

oui tu peux faire ainsi.
mais n'oublie pas de préciser aussi quel est le 1er terme de la suite V.

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 14:59

D'accord
Pour le b) j'ai fais
V0=U0-2/9
      =0,5*0,1
Donc, Vn=V0*q=5/18*0,1

Et Un=Vn+2/9=5/18*0,1+0,2

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:06

Pour le b) j'ai fait  --- non c'est en a) que tu dois préciser le 1er terme :
une suite géométrique se définit par sa raison q ET son premier terme.

V0=U0-2/9   ---  attention U0 n'existe pas, et donc V0 non plus
      =0,5*0,1   ---  en rouge faux

Vn=V0*qn  --- formule à adapter en fonction de l'indice du 1er terme (qui n'est pas 0)

reprends

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:29

V1=U1-2/9
      = T1-2/9
      = 0,5-2/9
      = 5/18

Vn=V1*qn-1
      = 5/18*0,1^1-1
      

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:33

V1= 5/18    oui

Vn=V1*qn-1     oui

Vn = 5/18 * 0,1^(n-1)     exposant n-1

d'où Un =

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:35

pas vu ...

MariamD @ 28-02-2021 à 15:29

V1=U1-2/9
      = T1-2/9   ah non T1 n'est pas correct : c'est un événement, pas un nombre ! U1 est sa proba, donc un nombre  

d'accord ?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:42

Ok
Un= Vn+ 2/9=5/18*(0,1exposantn-1)+0,2

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:45

ben alors... pourquoi +0.2 ?

Un= Vn+ 2/9
Un= 5/18*(0,1^(n-1)  +  ..?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:51

Un=5/18*(0,1^(n-1)+2/9

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 15:53

oui
Un=5/18*0,1^(n-1) + 2/9

la limite en infini ?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 16:10

La limite est de 0,2

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 16:10

U5

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 16:13



non, tu vas utiliser l'expression du terme général pour calculer la limite
Un=5/18*0,1^(n-1) + 2/9

lorsque n tend vers +,    n-1 aussi.

0,1^(n-1)  va tendre vers .....?
donc 5/18*0,1^(n-1)  tend vers .....?
etc

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 16:49

Je comprends pas quelle valeur je dois taper sur la calculatrice .

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 16:51

pas de calculatrice

0,1^(n-1)  va tendre vers .....?
==> regarde dans le cours, chapitre suite géométrique, la limite de q^n selon la valeur de q

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 17:04

0<q<1 la suite est strictement décroissante

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 17:14

lorsque 0 < q < 1 la limite de q^n tend vers 0

donc lorsque n tend vers + infini,   (n-1) tend aussi vers + infini,
et 0.1^(n-1) tend vers 0

exemple :
0.1² = 0.01
0.1³ = 0.001
0.1^10 = 0.0000000001  ----> on rapproche de plus en plus vers 0 (par valeur positive)

ensuite
5/18 *  0,1^(n-1)   va donc tendre vers   ...?
et  5/18*0,1^(n-1)  + 2/9 va tendre vers ...?

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 17:16

**  on rapproche de plus en plus de 0 (par valeur positive)

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 18:38

5/18*0,1^(n-1) tend vers -
5/18*0,1^(n-1) tend vers - car les de rapproche de 0 et sont de plus en plus petites.

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 20:21

(5/18) * 0 = ?

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 20:26

5/18*0=0

Posté par
carita
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 20:31

oui
0,1^(n-1) tend vers 0

5/18 * 0,1^(n-1) tend vers 0

et donc 5/18*0,1^(n-1) + 2/9  tend vers  ?

(compare ton résultat avec les premiers termes de la suite)

Posté par
MariamD
re : Exercice probabilité-suites 28-02-21 à 20:43

5/18*0,1^(n-1)+2/9 tend aussi vers 0

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1489 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !