Bonjour ,

une piste

Cordialement

Bonsoir fm_31 !

Merci beaucoup pour cette piste !

L'idée qui me vient en tête est de dire que si on garde BM comme inconnue, on note sin(/2) = a / 2*BM
avec ]0 ; /2[

On cherche max, que l'on peut remplacer par /2 max provisoirement.

Or la fonction sinus est strictement croissante sur [0 ; ]smb]pi[/smb]/2[ donc on cherche sin(/2) max.

or sin(/2) = a / 2*BM
donc au final on cherche a / 2*BM max, c'est-à-dire BM minimal !

Or BM est minimale lorsque MH est minimale aussi, c'est-à-dire quand BMC est un triangle rectangle en M. Dans ce cas, on a BM = (a3)/2.

En remplaçant avec la formule du sinus, on arrive à 70.53.





Est-ce correct ? Merci

Cela me parait très correct mais je viens de penser que le but de l'exercice est peut-être de travailler sur les vecteurs . Auquel cas il faut modifier la stratégie .

Pour que l'angle BMD soit maximum , il suffit que le produit scalaire  vMB . vMA  soit minimum .

vMB = vMA + vAB
vMD = vMA + vAD

vMB . vMD = (vMA + vAB)(vMA + vAD)
en posant   MA = x   et AB = a
vMB . vMD = vMA² + vMA.vAD + vAB.vMA + vAB.vAD
          =  x²  + x a cos60 + a x cos60 + a² cos60
          =  x²  +    ax/2   +   ax/2    + a²/2
          = x² + ax + a²/2

Ce produit sera minimum quand la dérivé (2x+a) sera nulle donc quand x = -a/2
  

Je vois pas bête ... Merci

Mais du coup si je suppose f la fonction définie sur + , définie par f(x) = x² + ax + a²/2, f admet un minimum atteint pour x = -a/2, or f(-a/2) = a²/4.

Que puis-je en déduire ? Là je vois pas du tout

C'est bon j'ai trouvé, suffit que je dise que comme les longueurs sont toujours positives, alors MA = x = valeur absolue de -a/2 = a/2. M est donc le milieu de [AC], etc ...

Le signe  "-" , vient du fait que je n'ai pas trop fait attention aux signes des angles orientés . En étant rigoureux (et il faut l'être)  

vMB . vMD = vMA² + vMA.vAD + vAB.vMA + vAB.vAD
               =  x²  + x a cos(-120) + a x cos(-120) + a² cos60
               =  x²  -    ax/2   -   ax/2    + a²/2
               = x² - 2ax + a²/2

Bonjour,

je vois tout de même une faille de base à cette méthode :
MA et MB sont en longueur variables

l'angle est = f(x) = arc cos((x² - 2ax + a²/2)/(MB.MD))
où MB et MD sont les mesures des segments MB et MD qui dépendent elles aussi de x

donc ce n'est pas le minimum juste de x² - 2ax + a²/2, qui serait d'ailleurs x = a selon cette expression et pas a/2 comme ce qui est attendu, mais le maximum de la fonction f(x) au grand complet.

que de complications par rapport à la méthode avec les sinus ...

à remarquer aussi que le produit scalaire n'est ni x² + ax + a²/2 ni x² - 2ax + a²/2 mais
x² - ax + a²/2

au moins le résultat de la méthode fausse est tout de même correct (max de l'angle pour x = a/2)

on a en vrai : cos() = (x² - ax + a²/2)/(x² - ax + a²)

(le dénominateur = MB² est obtenu par un autre produit scalaire, ou AlKashi c'est pareil)

ce qui s'écrit 1 - (a²/2)/(x² - ax + a²)
et le minimum sera obtenu pour le minimum du dénominateur (x² - ax + a²)
et on retombe bien sur nos pieds.

Merci beaucoup pour ces indications.

J'ai noté que le produit scalaire MB.MD = x² - ax + a²/2

Pour calculer les distances MB et MD, j'ai considéré que M était sur [AC] et non pas sur (AC), car il est clair que l'angle sera inférieur à 60° si M n'est pas sur le segment [AC]. J'obtiens alors MB = MD =  a/2 * 3


Je calcule ensuite cos() = (x² - ax + a²/2) / (a/2 * 3)²

Je simplifie, je trouve une fonction définie sur +, que je dérive. La dérivée est nulle quand x = a/2.

Le minimum est alors 1/3, atteint pour M est le milieu de [AC], et vaut 70,53°




J'aimerais bien savoir comment vous avez calculé MB grâce à un autre produit scalaire, ou grâce à Alkashi ?
Merci

M étant variable tu ne peux pas dire MB = valeur numérique. c'est faux.
c'est précisément pour ça que la méthode disant "le produit scalaire est minimum quand l'angle est maximum", sans plus, est fausse.

pour calculer MB tu calcules MB² = (AB - AM)² (en vecteurs)
MB² = AB² + AM² - 2 AB.AM toujours en vecteurs
et AB.AM = |AB|.|AM| cos 60° qui est ... la démonstration même de Al Kashi par les vecteurs en fait.

nota : trouver le minimum d'un trinome du second degré en utilisant les dérivées, pourquoi pas, mais c'est un peu lourdingue
on sait (cours) que l'extrémum d'un trinome Ax² + Bx + C est obtenu pour x = -B/(2A)
et que cet extrèmum est un minimum si A > 0, un maximum si A < 0
bien entendu, en dérivant on obtient les mêmes conclusions

Merci bien, j'ai bien compris maintenant

Par contre à la fin je dois rajouter que comme MA = AC/2, il faut forcément que M soit dans le segment [AC], sinon on aurait un angle inférieur à 60°, ce qui est absurde puisqu'on vient de trouver 70° non ?


Merci beaucoup pour votre aide !

euh ???
en dehors de [AC] on aurait bien un angle < 60° et à l'intérieur de [AC] un angle > 60°
et 70° est bien > 60°, où est le problème ?
et x = a/2 c'est bien M au milieu de AC donc dans [AC] non ?

En fait j'ai dit que a = "Longueur AC"
Et comme x = "longueur AM", alors la longueur AM fait la moitié de la longueur AC


Du coup ça colle bien oui, mais il faut bien préciser que M est dans [AC], pas à l'extérieur non ?

J'ai bien compris ça, mais il faut tout de même que je le précise à la fin non ?

Sinon n'y a-t-il pas un moyen de faire directement avec les vecteurs ? Il serait intéressant de trouver un méthode pour avoir directement vecteur AM = 1/2 vecteur AC ... Possible ou je laisse tomber ?

Tu le précises en fait au début :
le simple fait d'écrire des vecteurs et d'écrire
vAM.vAD = x*a*cos(60°)
ou vMA.vAD = x*a*cos(120°) c'est pareil
c'est avec x "signé" en fait : tu as orienté la droite AM de A vers B d'origine A, et "implicitement" x est l'abscisse de M sur cette droite. (avec une unité = l'unité de longueur)
x < 0 ou x > a c'est "par définition" en dehors de [AC]
0 < x < a c'est "par définition" dans [AC]

sinon tu ne peux même pas parler de calculer ce produit scalaire là (c'est l'angle des vecteurs qui est utilisé, pas l'angle des droites)

____
on cherche à maximiser un angle.
avec des vecteurs sans "étudier" la fonction (vMB.vMD)/(|MB|.|MD|) je ne vois pas comment tu aurais accès à l'angle.
(moralité : l'usage des vecteurs complique le problème ici)

D'accord je vois, merci !

Oui j'en retiens que j'utiliserai les angles (sinus) dès que possible, sinon vecteurs

Si pour la question 1 , on souhaite utiliser le produit scalaire , c'est vrai qu'il faut commencer par préciser que  |AB|.|AM|   et   cos()   ont le même tableau de variation .
En effet dans le triangle isocèle BMD , la base BD étant constante , quand  |AB|.|AM|  décroit   cos()  décroit aussi  et inversement .
Donc le produit scalaire   vMB . vMD  varie comme  |AB|.|AM|  et comme   cos()  

Le minimum  de  cos()  (ainsi que de  |AB|.|AM|)  sera bien obtenu quand le produit scalaire sera minimum .

Comme le produit scalaire est assez facile à calculer (à condition de ne pas faire d'erreurs comme dans mes précédant  posts)  
vMB . vMD = x² - ax + a²/2    est minimum pour  x = a/2
La réponse à la 1° question est donc   maximum pour x = a/2

Je pense quand même qu'il suffit de s'appuyer sur les propriétés du triangle isocèle à base constante pour voir que les variations de l'angle au sommet sont opposées au module des 2 vecteurs .Et seul ce sens de variation nous intéresse .

OK, mais du coup tu changes ton fusil d'épaule et tu ne t'intéresses plus au produit scalaire MB.MD mais juste au module de MD ??

et cela donnera MD minimum ... quand M est en H sauf contraintes supplémentaires sur M (MH ne peut pas devenir inférieur à la distance entre H et la droite AC) ce qui résoud l'exo sans aucun calcul de minimum du tout, mais juste ton tout premier calcul : celui avec M fixé au milieu de AC point final.
(et donc sans aucun calcul de produit scalaire non plus en fait)

J'ai encore retranscrit avec une erreur . Il faut que je me relise plus sérieusement .
C'est bien le produit  |MB|.|MD|  qui varie comme  cos ()  et donc comme le produit scalaire
vMB . vMD = |MB|.|MD|. cos ()

OK.
c'est plus clair comme ça.

C'est sûr . Ma mouture précédente était incompréhensible . Désolé .